Demuestre que un ideal del anillo de enteros de un campo de número real no es el principal

Question

El campo de número en cuestión es $K=\mathbb{Q}(\sqrt{82})$, y lo ideal es considerado en su anillo de enteros $R=\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{82}]$. El ideal es:

$\mathfrak{p}=(2,\sqrt{82})_R$

Es un alojamiento ideal (esto se deduce del teorema de la división de comportamiento de los ideales generados por el primer enteros), y que aparece naturalmente en la única factorización $\mathfrak{p}^2=(2)_R$, por lo que sabemos que $N(\mathfrak{p})=\pm2$.

Quiero mostrar que el ideal no es principal. Mis intentos hasta ahora han sido el considerar la ecuación de $x^2-82y^2=\pm2$ reducido modulo enteros pequeños y, a continuación, llegar a una contradicción, pero esto ha sido en vano. Por ello, he recurrido a pedir a la comunidad lo siguiente:

(1) ¿hay algún método general para probar que un ideal en el anillo de enteros de un campo de número no es el principal, o existen métodos generales para casos $\textit{e.g.}$ en el caso de una ecuación cuadrática campo de número? El caso de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ para $d<0$ cuadrado-libre, por supuesto, admite bastante simple solución, ya que puede ser fácilmente observado que $x^2-dy^2=c$ para algunos $c\in K$ no tiene soluciones cuando este es el caso.

(2) Si la respuesta a (1) es que no se conoce un método general o que conoce ningún método general es impracticable, y que en el caso de un ideal en el anillo de enteros de una ecuación cuadrática campo de número de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ lo mejor que uno puede hacer es considerar las ecuaciones de la forma $x^2-dy^2=c$ modulo enteros pequeños, hay algún algoritmo general o técnica que se aplica aquí más que un poco de ingenio y un buen ojo?

Todos por la ayuda, como siempre, es muy apreciado.

Answer 1

Aquí es un ad hoc para demostrar $\mathfrak{p}=(2,\sqrt{82})$ no es principal. La unidad fundamental de $\mathbb{Q}(\sqrt{82})$ es $\varepsilon = 9+\sqrt{82}$.

La idea es utilizar la información en el lugar de Arquímedes. Usted ya sabe $\mathfrak{p}^2 = (2)$. Suponga $\mathfrak{p}=(a)$ para algunos $a\in \mathbb{Z}[\sqrt{82}]$, podemos suponer $1<a<\varepsilon$. A continuación, $a^2 = 2\varepsilon^n$ para algunos $n\in \mathbb{Z}$. Es decir, $$\frac{1}{2} < \varepsilon^n < \frac{\varepsilon^2}{2}$$ el único caso es $n=1$. Pero se puede comprobar fácilmente $2\varepsilon$ no es un cuadrado en $\mathbb{Q}(\sqrt{82})$.

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Su pregunta de seguimiento: para el general de los campos de número, hemos algoritmo para determinar si un determinado ideal es principal, pero la complejidad aumenta exponencialmente a medida que el grado, y es tan difícil como encontrar un sistema de unidades fundamentales. Consulte los capítulos 4,5,6 de Un Curso Computacional de la Teoría Algebraica de números por Henri Cohen.

Real cuadrática campo, que el problema se reduce a resolver una ecuación de Pell, más especializados algoritmo es conocido, como continuación de la fracción.

Answer 2

Si $\langle 2, \sqrt{82} \rangle$ principal era la ideal, lo que significa que el $a$ en $\langle a \rangle = \langle 2, \sqrt{82} \rangle$ es un divisor común de a 2 y $\sqrt{82}$.

Creo, pero no han sido capaces de demostrar, que un divisor, si es que existe, puede ser encontrado por el algoritmo de Euclides, incluso en un no-Euclidiana de dominio. Supongo que lo peor que puede suceder a partir de mi adelante con esta respuesta es que voy a perder un par de puntos.

Considerar, por ejemplo, $\langle 5, \sqrt{95} \rangle$. Desde $$\frac{\sqrt{95}}{5} \approx 2,$$ we see that $\sqrt{95} = (2 \times 5) + (-10 + \sqrt{95})$ and it just so happens that $N(-10 + \sqrt{95}) = 5$. Then we readily see that $5 = (-1)(-10 + \sqrt{95})$ $(10 + \sqrt{95}) + 0$. So $\langle 5, \sqrt{95} \rangle = \langle 10 + \sqrt{95} \rangle$.

Ahora, la aritmética modular todavía puede ser muy útil en algunos casos. Por ejemplo, $\langle 2, \sqrt{95} \rangle$ debe ser también un ramificaciones del ideal. Si es también un director de ideal, significaría $x^2 - 95y^2 = \pm 2$ tiene soluciones en los enteros. Sin embargo, podemos comprobar rápidamente que $x^2 \equiv \pm 2 \pmod 5$ es imposible en números enteros.CORRECCIÓN: yo debería haber escrito $\langle 2, 1 + \sqrt{95} \rangle$, no $\langle 2, \sqrt{95} \rangle$.

Como resulta, $\mathbb Z[\sqrt{82}]$ es en cierto modo una muy espinoso ejemplo. Ejemplos con muy pequeña y ordenada de números parecen un poco difícil de encontrar. Tal vez usted ha llegado a través de $\langle 103 \rangle = \langle 103, 44 - \sqrt{82} \rangle \langle 103, 44 + \sqrt{82} \rangle$.

Para ser perfectamente claro, ni $\langle 103, 44 - \sqrt{82} \rangle$ ni $\langle 103, 44 + \sqrt{82} \rangle$ es un ramificaciones del ideal. Pero si cualquiera de ellos es un director ideal, todavía puedo afirmar, sin pruebas, que podemos descubrir $\gcd(103, 44 \pm \sqrt{82})$ por el algoritmo de Euclides.

No voy a aburrir con los cálculos. Baste decir que $\gcd(103, 44 + \sqrt{82}) = 15 - 2 \sqrt{82}$, que tiene una norma de $-103$.

Volviendo a tu pregunta de $\langle 2, \sqrt{82} \rangle$, tratando de encontrar a $\gcd(2, \sqrt{82})$ por el algoritmo de Euclides es probable que sea tan frustrante como tratando de encontrar un número de $m$ que $x^2 - 82y^2 \equiv 2$ o $80 \pmod m$ es imposible.

Un programa que me bajé de GitHub respuestas de esta consulta con $-2$, que es su manera de decirme que no podía llevar a cabo el algoritmo de Euclides a una conclusión satisfactoria en esta instancia.