forma cerrada para $\int_{1/4}^{3/4} x^n(1-x)^n \, dx$

Question

Como el integrando es un polinomio, he utilizado la fórmula del binomio para separar los monomios:

$$\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} x^n(1-x)^n \, dx = \sum_{k = 0}^{n}{ n \choose k}(-1)^{k}\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} x^{n+k} \, dx = \sum_{k = 0}^{n}{ n \choose k}(-1)^{k}\left[\frac{(\frac{3}{4})^{n+k+1}-(\frac{1}{4})^{n+k+1}}{n+k+1}\right]. $$

Estoy buscando obtener una forma cerrada de la siguiente suma o al menos hacerla más "bonita" en términos de apariencia:

$$f(a) =\sum_{k = 0}^{n}{ n \choose k}(-1)^{k}\frac{a^{n+k+1}}{n+k+1},\,\, 0<a < 1.$$

Tenemos $$f'(a) =\sum_{k = 0}^{n}{ n \choose k}(-1)^{k}a^{n+k} $$ Entonces:

$$f'(a) =a^n(-1)^n\sum_{k = 0}^{n}{ n \choose k}(-1)^{n-k}a^{k} = a^n(-1)^{n}(a-1)^n = a^n(1-a)^n $$

así que volvemos al principio.

Más allá de esta simplificación circular, he pensado en integrar, pero eso sólo hará que la fórmula sea mucho más complicada.

¿Tal vez haya otro enfoque?

Editar 1: Mi objetivo principal es obtener una forma cerrada de la integral, por lo que si $\frac14$ y $\frac34$ dar algunas cancelaciones, sería estupendo que alguien las señalara.

Edición 2: el problema original :

dejar $(X_1,\cdots,X_{2n+1})$ ser un $2n+1$ muestra de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que se distribuyen uniformemente sobre $[0,1]$

-Hallar la probabilidad de que la mediana $\in [\frac14,\frac34]$ .

Edita 3:

utilizando la observación de @JamesArathoon

$$\begin{align}I_n & =\int_0^1 x^n (1-x)^n \, dx-2\int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1-x)^n \, dx = B(n+1,n+1) - 2B(\frac14;n+1,n+1) \end{align}$$

donde la primera función especial es la función beta y la segunda es la beta incompleta.

$$\begin{align}I_n & = B(n+1,n+1) - 2B(\frac14;n+1,n+1) = \frac{\Gamma^2(n+1)}{\Gamma(2n+2)} -\frac{2}{4^{n+1}n+1}{_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4}) \\ &=\frac{(n^2)!}{(2n+1)!} -\frac{2}{4^{n+1}n+1} {_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4}) \end{align}$$

porque uno de los argumentos de la función hipergeométrica es negativo entonces la serie termina y está dada por

$$\begin{align}{_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4}) &= \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} \frac{(n+1)_k}{4^k(n+2)_k} \\ &= 1 + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}{4^k(n+2)(n+3)\cdots(n+k+1)} \\ &=1 + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(n+1)}{4^k(n+k+1)} \\ \end{align}$$

ahora parece que tiene el potencial de convertirse en una fórmula binomial con $a = -1, b = \frac14$

pero todavía no puedo verlo

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí un intento en la línea que se ha sugerido en los comentarios.

Dejemos que $$I_n = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx, \qquad n \in \mathbb{N}.$$

A partir de las propiedades de la integral definida podemos escribir $$I_n = \int_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx - \int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx - \int_{\frac{3}{4}}^{1} x^n (1 - x)^n \, dx. \tag1$$ Observando que (para ver esto, se aplica la sustitución de $x \mapsto 1 - x$ en la integral de la derecha) $$\int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx = \int_{\frac{3}{4}}^{1} x^n (1 - x)^n \, dx,$$ (1) puede reescribirse como $$I_n = \int_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx - 2\int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx \tag2$$ La primera de estas integrales es una función beta estándar. Aquí $$\int_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx = \operatorname{B} (n + 1,n+1) = \frac{1}{(2n + 1) \binom{2n}{n}}.$$ La segunda de las integrales es una función beta incompleta. Aquí $$\int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx = \operatorname{B} \left (\frac{1}{4}; n + 1, n+ 1 \right ).$$ Así, (2) se convierte en $$I_n = \frac{1}{(2n + 1) \binom{2n}{n}} - 2 \operatorname{B} \left (\frac{1}{4}; n + 1, n + 1 \right ). \tag3$$

Si sirve de ayuda, (3) puede reescribirse en términos de la función hipergeométrica $_2 F_1 (a,b;c;x)$ . Utilizando, por ejemplo, el primero de los resultados encontrados aquí , a saber $$\operatorname{B} (x;a,b) = \frac{x^a}{a} {_2} F_1 (a, 1 - b; a + 1; x),$$ (3) se convierte en $$I_n = \frac{1}{(2n + 1) \binom{2n}{n}} - \frac{1}{2 \cdot 4^n (n + 1)} {_2} F_1 \left (n + 1, -n; n + 2; \frac{1}{4} \right ).$$

Por supuesto, una de las otras formas de la función beta incompleta en términos de la función hipergeométrica que se encuentra en el enlace puede ser más útil para su propósito particular.

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Actualización

Para llegar al resultado dado por el OP en Edición 3 En este caso, se puede evitar el uso de la función beta incompleta o de la función hipergeométrica. Haciendo uso de la expansión binomial en la segunda de las integrales que aparecen en (2) se llega directamente a \begin{align} \int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx &= \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \int_0^{\frac{1}{4}} x^{n + k} \, dx\\ &= \frac{1}{4^{n + 1}} \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{4^k (n + k + 1)}. \end{align} Como esta suma consta de un número finito de términos, está en forma cerrada pero, por supuesto, estaría bien que se pudiera escribir de forma más compacta utilizando menos términos.