Tengo dos respuestas: la respuesta 1, para el OP, que está claramente al nivel de alguien que ya conoce la QM y que está sondeando la naturaleza de la medición con bastante cuidado, y la respuesta 2, para cualquiera que esté aprendiendo QM.
Respuesta 1. El observable que se mide produce sólo un múltiplo cuando se actúa con ese operador sobre un posible estado de salida medido (al fin y al cabo esa es la ecuación de valores propios), y tal acción siempre se traduce en un desplazamiento o algo parecido a un desplazamiento (es decir, una secuencia de factores de fase) cuando se miran los estados en una base conjugada. Esto se ha investigado, pero no conozco una buena referencia, excepto para decir que hay una enorme literatura sobre el desconcierto de la medición y cómo describirla mejor.
Respuesta 2. El resto de mi post es un post educativo para cualquiera que esté aprendiendo QM. Lo he escrito porque sé que la corazonada de que "los operadores hacen mediciones" es un escollo común en el aprendizaje del tema. Voy a aconsejar a los lectores que eviten ese escollo. ¡Espero que ayude a alguien!
La relación de los operadores con la medición es algo que creo que todos los que han aprendido mecánica cuántica se han preguntado. En mi opinión, la mayoría de los libros de texto no la abordan con mucha claridad.
Los operadores se llaman "operadores" principalmente por su papel en la matemáticas en lugar de las operaciones físicas que se realizan en un laboratorio (o en cualquier otro lugar). Al observar el comportamiento de las cosas físicas, los operadores son más bien propiedades de las cosas físicas, sólo que tampoco son exactamente eso; por eso en QM se llaman "observables". La palabra significa "algo que se puede observar" y aquí eso significa "algo así como una propiedad del sistema sólo que no del todo; espere un poco y le diré más".
Matemáticamente un operador se define como "aquello que puede actuar sobre un ket (o una función de onda) para dar otro ket (o posiblemente el mismo ket)". La cuestión es que una combinación como $$ \hat{Q} | \psi \rangle $$ (donde $\hat{Q}$ es algún operador arbitrario) produce, o es igual a, no un operador ni un número complejo ni una jirafa ni una serpiente sino a ket : $$ \hat{Q} | \psi \rangle = | s \rangle . $$ Mi punto aquí es simplemente decir por qué los operadores se llaman operadores. Es un término matemático adecuado. Y, por cierto, el ket (o vector de estado) dado aquí no tiene que ser normalizado, y normalmente no será normalizado incluso cuando $| \psi \rangle$ está normalizado.
Ahora puedes estar pensando, "espera, el operador hamiltoniano da como salida no un estado sino una tasa de cambio de un estado": $$ \hat{H} | \psi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt} | \psi \rangle $$ Esto es correcto, pero es un caso especial: es el ecuación de movimiento te dice que el ket que obtendrías de $\hat{H} | \psi \rangle$ es el mismo que se puede obtener de $i \hbar | \dot{\psi} \rangle$ .
Ahora volviendo a la pregunta. Es muy útil saber que los operadores, especialmente los hermitianos, tienen estados propios y valores propios, así que lo primero que hay que hacer con un operador es averiguar cuáles son los estados propios y los valores propios. Una vez que los has averiguado (y fíjate que esto puede ser una tarea puramente matemática, que no tiene por qué implicar experimentos físicos) entonces tienes una especie de "menú", como la carta de un restaurante. Dice "aquí están los estados disponibles que el sistema puede adoptar si va a tener un valor definido con precisión de la propiedad física asociada a $\hat{Q}$ ". Esta tarea matemática implica la ecuación $$ \hat{Q} | u_q \rangle = q | u_q \rangle $$ donde $q$ es un valor propio (un número real que supone $\hat{Q}$ es hermético) y $| u_q \rangle$ es un vector propio. Ahora bien, esta expresión se parece mucho a que tomamos un sistema y actuamos sobre él u operamos con $\hat{Q}$ . ¿Es eso cierto? (después de todo, hemos aprendido que los valores propios son posibles resultados de las mediciones, así que ¿no es eso lo que ocurre aquí?) La respuesta es no . Esa es una falsa impresión . En la ecuación anterior no ha ocurrido nada en absoluto en el sistema físico. Más bien, el chef del restaurante preparaba el menú. Se trataba de una investigación puramente matemática, como la resolución de los modos normales de un conjunto de osciladores clásicos, o la búsqueda de las funciones armónicas esféricas que son soluciones de la ecuación de Laplace. Encontrarlas no dice nada en absoluto sobre lo que está haciendo un conjunto concreto de muelles, o cómo está vibrando un tambor concreto, y además la ecuación anterior (la ecuación de valores propios) no no describir el acto de medir.
Sin embargo, y esto es lo que motivó la pregunta, por supuesto, sabemos que los operadores guardan algún tipo de relación con la operación física de la medición. Entonces, ¿cuál es esa relación exactamente? La relación es la siguiente.
El proceso físico de medición puede modelarse matemáticamente como un proyección (como proyectar un vector en 3 dimensiones sobre un plano o una línea). El operador que representa el observable que se está midiendo te dice cuáles son las direcciones en el espacio de Hilbert del vector de estado del sistema, es decir $| \psi \rangle$ y en cada medida particular se elige una de esas direcciones $^*$ . Matemáticamente esto es $$ | \psi \rangle \rightarrow N P_q | \psi \rangle $$ donde $N$ es una constante de normalización y $$ P_q = | u_q \rangle \langle u_q | $$ y la probabilidad de que esta proyección particular ocurra es $$ \mbox{Prob}(q) = | \langle u_q | \psi \rangle |^2 $$ Obsérvese que estas ecuaciones finales no implican $\hat{Q}$ y sin embargo $\hat{Q}$ está en el fondo, proporcionando el "menú" $\{ | u_q \rangle \}$ y $\{ q \}$ .
Como dije al principio, me doy cuenta de que lo anterior es bien conocido por el OP; no quiero insultar la inteligencia de nadie, sólo aumentar la comprensión general para otros que puedan estar aprendiendo QM.
$^*$ Comentario final, para completar: cuando hay varios estados mutuamente ortogonales todos con el mismo valor propio, entonces la proyección no es sobre una única dirección o estado propio, sino sobre un plano o espacio de mayor dimensión.
