Las parcelas de $\sin(kx)$ sobre la línea real son algo aburrido y mira esencialmente los mismos:
Para mayor $k$ usted puede decir fácilmente que $k$ es (no sólo debido a los efectos de Moiré):
Pero cuando se trazan $\sin(kx)$ sobre el círculo unitario por
$$x(t) = \cos(t) (1 + \sin(kt))$$ $$y(t) = \sin(t) (1 + \sin(kt))$$
patrones interesantes surgen, por ejemplo, para $k = 1,2,\dots,8$
Interludio: tenga en cuenta que estas parcelas son el flujo de las parcelas de las funciones complejas
$$f_k(z)=\frac{1}{2i}(z^k - \overline{z^k})z $$
en el círculo unidad (si no me equivoco). Tenga en cuenta que $f_k(z)$ no es un holomorphic función.
Usted puede comparar esto con la secuencia de la trama de
$$g_k(z)=\frac{1}{2i}(z^k - \overline{z^k}) = f_k (z)/z$$
con $g_k(e^{i\varphi}) = \sin(k\varphi) $:
[Fin de la interludio.]
Incluso para las grandes $k$ uno todavía podría decir $k$:
Además, usted puede ver los efectos específicos de racional frecuencias $k$ que son invisibles en los lineales de las parcelas. Aquí están las parcelas de $k=\frac{2n +1}{4}$ con $n = 1,2,\dots,8$:
La principal ventaja del diagrama lineal de $\sin(kx)$ es que tiene una sencilla interpretación geométrica resp. construcción: Es la trama de la coordenada y de un punto que gira con velocidad constante $k$ en el fijo de la unidad de círculo:
Alternativamente, usted puede mirar en el seno como la proyección de una hélice se ve desde el lado. Esta fue la idea detrás de una de las primeras representaciones de la sinusoidal encontrar en la Durero:
Compare esto con los casos de cycloids y epiciclos. Estos también tienen una simple interpretación geométrica - siendo las parcelas de los x - y y-coordenadas de un punto en un círculo que rueda en la línea
resp. se mueve en un círculo con rapidez constante
Mi pregunta es:
Por qué interpretación geométrica resp. de la construcción (la participación de los círculos o elipses o lo que sea) puede polar parcelas de $\sin$ ser visto resp. generado? Que la construcción se relaciona con la construcción de $\sin$ por rotación, un punto en un círculo en la forma en que la construcción de epiciclos se refiere a la construcción de cycloids?
Sólo reflexionando: tal vez esta pregunta tiene que ver con esta otra pregunta sobre patrones Ocultos en $\sin(kx^2)$? (Probablemente no, porque usted no puede sensatez parcela $\sin(kx^2)$ radialmente, ya que no está bien definido).
