¿Es simplemente una coincidencia que si se diferencia la fórmula del volumen de la esfera se obtenga la fórmula de la superficie de la esfera?

Question

Así que mi pregunta es la siguiente: $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$ Y, $$\frac{dV}{dr}=4\pi r^2=SA$$ ¿Es una coincidencia o hay algún problema matemático que desconozco?

P.D. ¿Hay más etiquetas que deba utilizar?

Answer 1

Comienza con una esfera de radio $r$ . Ahora dejemos que el radio de la esfera crezca en una pequeña cantidad $\Delta r$ . ¿Cuánto ha cambiado el volumen? Según la definición de la derivada, ha cambiado aproximadamente $$ \Delta r \cdot V'(r) $$ Sin embargo, el volumen añadido es básicamente una cáscara delgada, y su volumen es aproximadamente igual a su superficie (la interior, por conveniencia), multiplicada por su espesor. Esto es $$ \Delta r\cdot SA(r) $$ Así, tenemos $$ \Delta r \cdot V'(r)\approx \Delta r\cdot SA(r)\\ V'(r)\approx SA(r) $$

Un análisis riguroso de esta configuración le permitirá concluir que el error de aproximación anterior es lo suficientemente pequeño como $\Delta r$ se hace más pequeño, y por lo tanto que $V'(r)$ y $SA(r)$ son realmente iguales.

Answer 2

¿Cómo se obtiene el volumen de una esfera? Basta con calcular una integral de volumen sobre la esfera

$$V=\int_{\mathbb{R}^3}\chi(x,y,z)\;d\mathbf{x}$$

donde $\chi$ es una función que equivale a $1$ dentro de la esfera y $0$ fuera. Por supuesto es cómodo cambiar a coordenadas esféricas. El determinante del jacobiano es $|J|=r^2\sin\theta$ , s0

$$ V=\int_0^Rr^2dr\int_0^\pi \sin\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi $$

calculando las dos integrales de la derecha se obtiene

$$ V=\int_0^R4\pi r^2dr =\int_0^R \frac{dV}{dr}dr \tag{1}$$

¿Cómo se calcula la superficie de una esfera? Mediante una integral de superficie

$$SA=\int_{\mathbb{R}^3}\sigma(x,y,z)\;d\mathbf{x}$$

donde $\sigma(x,y,z)=\chi(x,y,z)\delta (r-R)$ . En coordenadas esféricas:

$$ SA=\int_0^\pi r^2\sin\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi = 4\pi r^2 \tag{2}$$

Así que, confrontando la ecuación $(1)$ y $(2)$ es posible demostrar que

$$SA=\frac{dV}{dr}$$

Esto, por supuesto, significa que

$dV=SAdr$

es decir, el incremento infinitesimal del Volumen $dV$ se obtiene mediante el producto de la superficie $SA$ y el incremento infinitesimal del radio $dr$ .

Answer 3

Creo que tengo algo pero no estoy seguro de qué.

El volumen de un objeto es la integral $\int 1 d\tau$ donde $\tau$ es el elemento de volumen y los límites son la frontera de la superficie.

La divergencia de $\vec{r}/3$ es 1 en cualquier sistema de coordenadas. Así que la integral anterior puede expresarse como la integral de volumen de una divergencia. Donde $\vec{r}$ es el vector de posición.

Por la ley de Gauss $\int \nabla\cdot (\vec{r}/3) d\tau=\int \frac{\vec{r}}{3}\cdot \hat{n} dA$

Donde $\hat{n}dA$ es la forma vectorial de la superficie infinitesimal.

Para una figura de radio constante, $\hat{n}=\hat{r}$ por lo que el integrando de la derecha se convierte en (r/3).

No estoy seguro de lo que viene después, pero parece que hay un vínculo entre todo el volumen y sólo considerar las características geométricas de la frontera.