¿Por qué tantos libros de texto definir holomorphic funciones de $f: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$ $\mathbb{R}$- funciones diferenciables de satisfacciones $$\frac{\partial f}{\partial \overline{z_i}}=0 $$, en donde utilizamos Wirtinger operadores
$$\frac{\partial}{\partial z_i} := \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x_i} - i \frac{\partial}{\partial y_i}) \ \ \text{and} \ \ \frac{\partial}{\partial \overline{z_i}} := \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x_i} + i \frac{\partial}{\partial y_i}) \ ?$$
Para mí la definición de $\frac{\partial}{\partial z_i}$ de esta manera se ve muy artificial.
Un enfoque mucho mejor parece ser el uso de la definición habitual de la diferenciabilidad de mapas entre afín a los espacios de más de $\mathbb{C}$, que es la que requiere $$f(z-z_0)=L_{z_0} \cdot (z-z_0) + o( \| z - z_0 \|)$$hold for all $z_0$ in the domain we are interested in and where $L_{z_0}: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$ is complex linear. Then we have the usual Jacobi matrix where $\frac{\partial f}{\partial z_i}$ has its usual meaning as $$\frac{\partial f}{\partial z_i} |_{z_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h\cdot \vec{e_i}) - f(z_0)}{h}, \ \ h \in \mathbb{C}.$$
Luego, por supuesto, volvemos a observar que si $f$ $\mathbb{C}$- diferenciable, entonces también es $\mathbb{R}$-diferenciable y sólo tenemos la igualdad: $$\frac{\partial f}{\partial z_i} = \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x_i} - i \frac{\partial f}{\partial y_i}).$$
De esta manera ambos lados de la ecuación tienen su significado natural y estamos no la definición de la LHS, a través de los RHS. Una ventaja de este enfoque es que ya no tenemos que realizar ad hoc controles de la cadena de reglas para Wirtinger operadores y la composición de holomorphic funciones de nuevo holomorphic se convierte en una trivialidad.
Como otra de las ventajas es que parece que si uno no está interesado en la teoría de Hodge y uno sólo quiere definir holomorphic tangente y paquete de holomorphic paquete de formularios para un complejo colector ya no hay ninguna necesidad de ir a través de la yoga de la definición de $(1,0)$ $(0,1)$ escisiones y se puede proceder habitual en el diferencial-forma geométrica, la definición de la holomorphic tangente gavilla como la gavilla de $\mathbb{C}$ derivaciones de la estructura de la gavilla con el local holonomic base que consta de $\{ \frac{\partial}{\partial z_i} \}$.
Para resumir, es que sólo un camino histórico para lidiar con holomorphic funciones como los reales y el uso de Wirtinger operadores o hay algún punto importante que me falta aquí?
Una posible explicación que se me ocurre es que para un complejo colector de los $(p,q)$ descomposiciones (o más en general, la interacción entre lo real y lo holomorphic) son mucho más interesantes que la atención a la gente y mucho menos sobre la forma correcta de holomorphic objetos y, por tanto, no te molestes en diseñar una racionalización de la analítica de la exposición de los mismos.
