Encuentra$f(x)$ que satisface$f(f(x))=x^x$

Question

Por inspección mis intentos siempre están mal. Realmente no tengo ni idea y me rindo. ¿Cómo encontrar$f(x)$ satisfactorio$f(f(x))=x^x$?

Mis intentos:

• $f(x)=x^x$
• $f(x)=x^{1/x}$
• $f(x)=\frac{1}{x^x}$

Mi profesión no es matemática, por lo que no estoy bien entrenada en matemáticas más allá de las matemáticas de la escuela secundaria. Si conoces la solución, por favor dame una pista.

Answer 1

La clave es identificar un punto fijo de la función $x^x$. Un obvio punto fijo es $x=1.$ A simplificar el trabajo, asumimos que $f$ tiene el mismo punto fijo. Definimos $\ g(x) := f(1+x)-1 \ $ donde $\ g(0) = 0 \ $ porque $\ f(1) = 1. \ $ uso de $\ f(f(x)) = x^x \ $ hemos $$ g(g(x)) = f(1\!+\!g(x)) \!-\! 1 = f(f(1\!+\!x)) \!-\! 1 = (1\!+\!x)^{1+x} - 1 = x + x^2 + \frac{x^3}2 + \frac{x^4}3 + O(x^5). $$ Asumiendo un poder de expansión de la serie de $\ g(x), \ $ podemos resolver por sus coeficientes y obtener $$ g(x) = x + \frac{x^2}2 + 0x^3 + \frac{5}{48}x^4 - \frac{11}{96}x^5 + \frac{257}{1920}x^6 - \frac{851}{5760}x^7 + \frac{15751}{107520}x^8 + O(x^9). $$ Ahora $\ f(x) = 1 + g(x-1). $ no estoy seguro sobre el radio de convergencia de la serie. Puede ser cero. Todos los coeficientes de a $x^{18}$ son de menos de $1$ en valor absoluto, pero luego crecen muy rápidamente. Aún así, para $\ .7 < x < 1.2 \ $ $\ f(f(x)) \ $ es una aproximación cercana a $\ x^x $ pero añadiendo más términos en la serie lo hace peor. Me recuerda a la expansión asintótica de $\ \log \Gamma (x). \ $