Recientemente he empezado a "reaprender" la transformada de Laplace, y me he dado cuenta de algo. ¡Me parece que la idea intuitiva de polos y ceros es diferente entre estas dos transformadas!
Por ejemplo, en el caso de la transformada de Fourier, podemos escribir algo así para la señal de entrada del sistema: que la entrada sea una sinusoide compleja $e^{j \omega_0 t}$ entonces $$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}d\tau \, h(\tau)x(t-\tau)=e^{j \omega_0 t} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}d\tau \, h(\tau)e^{-j \omega_0 \tau}=e^{j \omega_0 t} \cdot H(\omega_0),$$ donde $H(\omega_0)$ es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema $h(t)$ en una frecuencia $\omega_0$ . Lo mismo puede verse en el dominio de la frecuencia, donde la distribución de Dirac $2 \pi \delta(\omega-\omega_0)$ esencialmente "sondea" la función de transferencia $H(\omega)$ en $\omega=\omega_0$ . En otras palabras, la función de transferencia actúa sobre la sinusoide compleja y la modifica en consecuencia.
En este caso, los ceros y los polos son naturalmente los valores de frecuencia en los que la función de transferencia se reduce a cero o explota. Por lo tanto, cuando multiplicamos $H(\omega)$ con una sinusoide compleja a una de estas frecuencias, el resultado es claramente visible; la sinusoide desaparece o se hace realmente grande (infinita).
Ahora, centrémonos en la transformada de Laplace; aquí no consigo obtener la misma visión. En cuanto a la función de transferencia $H(s)$ se refiere, los ceros y los polos siguen siendo la misma cosa: los valores característicos de $s$ donde la función se reduce a cero o explota, pero la similitud termina aquí; si elijo una sinusoide compleja causal como entrada de un sistema causal, es decir $e^{s_0t}u(t)$ Puedo escribir
$$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}d\tau \, h(\tau)x(t-\tau)=e^{s_0t} \cdot \int_{0}^{t}d\tau \, h(\tau)e^{-s_0\tau} \neq e^{s_0t} \cdot H(s_0),$$ así que, en resumen, no puedo aplicar la misma lógica con los ceros/polos que con la transformada de Fourier. Es similar si miro la situación en la $s$ -dominio $$Y(s)=H(s) \cdot \frac{1}{s+s_0,}$$ y es obvio que no es como $H(s)$ "sondea" la sinusoide compleja $e^{s_0t}u(t)$ y sólo cambia su amplitud/fase, como en el caso de la transformada de Fourier.
Entonces, mi conclusión es que, si alimento el sistema con señal $e^{s_zt}$ , donde $s_z$ -valor es el valor donde, por ejemplo, $H(s)=0$ No puedo decir simplemente " $H(s)$ va a actuar sobre ella y cambiarla en consecuencia - en este caso, anularla". La misma conclusión es válida para los polos.
Mi pregunta es, ¿cómo debo interpretar los polos y ceros de la transformada de Laplace?
Gracias.
