Mapa exponencial y conexión

Question

Supongamos que tenemos una variedad riemanniana $(M,g)$ y un punto $p\in M$ arreglado. Sea $v: s\mapsto v(s)$ sea una curva en $T_pM$ . Consideremos ahora el mapa $f(s):=\exp_p(v(s))$ .

¿Se puede obtener una fórmula explícita para $f'(s)$ ? Tal vez sea confuso, pero pensé en algo como $f'(s)=d(\exp_p)_{v(s)}(\nabla_sv(s))$ donde $\nabla_s$ denota la derivada covariante.

Formalmente, $d(\exp_p)_{v(s)}$ es un mapa de $T_{v(s)}T_pM$ a $T_{\exp_p(v(s))}M$ y se puede identificar $T_{v(s)}T_pM\cong T_pM$ . Me gustaría saber si la fórmula anterior es cierta y cómo se relaciona esta identificación con la conexión Levi-Civita en $M$ . Gracias por cualquier explicación.

Answer 1

Desde $T_pM$ es un espacio vectorial, la derivada de $v(s)$ se define sin necesidad de recurrir a la "derivada covariante", por lo que en su fórmula $\nabla_s v(s)$ puede sustituirse simplemente por la derivada $v'(s)$ . La fórmula que has escrito es cierta por la regla de la cadena. De hecho, sería cierta para cualquier mapa y no sólo para el mapa exponencial. Para definir el mapa exponencial, ciertamente se necesita la conexión Levi-Civita.