Grupo fundamental del toroide

Question

Estoy tratando de entender el siguiente cálculo del grupo fundamental del toro, usando Seifert Van-Kampen (sé que es más fácil hacerlo considerando espacios de cobertura, pero estoy tratando de aprender el método de Seifert Van-Kampen).

Consideremos el toroide $T$ como el cuadrado de la unidad en $\mathbb R^2$ con bordes opuestos identificados. Sea $A$ sea un disco abierto (digamos de radio $1/4$ sobre el origen), y $\overline{A}$ sea su cierre. Deja que $B$ sea el complemento de $A$ para que $A \cap B = S^1$ . Entonces tenemos $T = A \cup B$ donde $A$ y $B$ son un par de retracción de la deformación de la vecindad, por lo que podemos utilizar Van Kampen. Está claro que $\pi_1(A) = \{e \}$ y $\pi_1(A \cap B) = \mathbb Z$ . Así que tenemos que encontrar $\pi_1(B)$ . Observe que $B$ La deformación se retrae en el límite del cuadrado que, tras la identificación, es homeomorfo a $S^1 \vee S^1$ de esta manera vemos que $B$ y $S^1 \vee S^1$ son equivalentes en homotopía (la inclusión en una dirección, la retracción en otra), y así $\pi(S^1 \vee S^1) = F_2$ (que puede ser calculado por Van Kampen, o utilizando la teoría de los espacios de cobertura). Entonces, por Van Kampen, $\pi_1(T) \cong F_2 *_{\mathbb Z} \{e\}$ . Es el cociente de $F_2$ por el cierre normal de la imagen de $l_* : \pi_1(A \cap B) \to \pi_1(B)$ (donde $l_*$ es el homomorfismo inducido a partir del mapa de inclusión $l : A \cap B \hookrightarrow B$ ). Lo siguiente me está causando confusión: El generador de $\pi_1(A \cap B)$ es homotópico en $B$ a un bucle de la forma $u.v.\overline{u}.\overline{v}$ , donde $u$ y $v$ representan los dos generadores de $F_2$ . Así que $\pi_1(T) \cong \langle a,b ; aba^{-1}b^{-1} \rangle$ , el grupo abeliano libre sobre dos generadores.

Cualquier explicación o intuición geométrica sería realmente apreciada. Gracias

Answer 1

Piensa en el cuadrado de la unidad en $\mathbb{R}$ con los bordes superior e inferior identificados con $a$ apuntando a la derecha, y los bordes izquierdo y derecho identificados con $b$ apuntando hacia abajo. Ahora digamos que su generador $c$ para $\pi_1(A\cap B)$ atraviesa el círculo formado por $A\cap B$ una vez en el sentido de las agujas del reloj. Al incluir esto en $B$ ¿a dónde va? Por su retracción va al límite, y al ir en el sentido de las agujas del reloj recorre $aba^{-1}b^{-1}$ .

Geométricamente, la imagen $A$ como un disco en la superficie del toro, y $B$ como el resto del toro (con una pequeña superposición para hacer $A\cap B$ ). Entonces imagina el círculo $A\cap B$ quedándose quieto en la superficie del toro mientras se retrae $B$ al "marco" formado por $S^1\vee S^1$ . Si incluyera este círculo en el marco estirándolo, recorrería un círculo, luego el otro, luego el primero en sentido inverso, luego el segundo en sentido inverso.

Answer 2

La clave aquí es que quieres analizar la imagen de $l_*$ . El generador de $\pi_1(A\cap B)$ es un bucle alrededor del "círculo $A \cap B$ . Cuando este generador de $\pi_1(A \cap B)$ se mapea en $\pi_1(B)$ se sitúa en el límite del círculo, por lo que se sitúa en $u.v.\bar{u}.\bar{v}$ . En otras palabras, empujando el "círculo" que es $A \cap B$ en el límite del cuadrado le da un cierto bucle en $B$ y ese bucle equivale a $u.v.\bar{u}.\bar{v}$ .