Encuentre la relación entre $|AB|$ y $|BC|$

Question

Tengo este problema, que se trata de este triángulo rectángulo de abajo. Dice que $|AB|$ y $|BD|$ (que es el diámetro del círculo) son iguales y que el círculo toca el lado $|AC|$ . Ahora tengo que determinar la fracción $\dfrac{|AB|}{|BC|}$

He probado un par de cosas y he obtenido el resultado $\frac{1}{\sqrt{15}}$ . ¿Es eso correcto? Si no es así, me gustaría que alguien me diera alguna pista.

Y un detalle importante: ¡No puedo usar la trigonometría!

Answer 1

Dejemos que $E$ sea el punto donde el círculo toca la hipotenusa. Entonces tenemos $|AE| = |AB|$ . También tenemos $|CE|^2 = |CD|\cdot |BC| = |BC|(|BC| - |AB|)$ (esta cantidad se denomina potencia del punto $C$ con respecto a ese círculo). Teniendo en cuenta todos estos tamaños, el teorema de Pitágoras da $$ |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2\\ |AB|^2 + |BC|^2 = \left(|AB| + |CE|\right)^2\\ |AB|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 + 2|AB||CE| + |BC|^2 - |BC||AB|\\ |BC||AB| = 2|AB||CE|\\ |BC|= 2|CE| \\ |BC|^2 =4|CE|^2 = 4|BC|(|BC| - |AB|)\\ |BC| = 4(|BC| - |AB|)\\ \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{3}{4} $$

Answer 2

Aquí hay una solución que no utiliza el teorema de Pitágoras:

Dejemos que $E$ sea el punto, como en la solución de Arthur, donde el semicírculo toca la hipotenusa, y $O$ el centro del semicírculo. A continuación, observa que los triángulos $\Delta ECO$ y $\Delta BAC$ son similares, con la tasa $2$ es decir, si $|OC| = x$ entonces $|AC| = 2x$ (nótese que tienen los mismos ángulos y el ángulo $\angle BCA$ ve una arista de longitud $r$ en un triángulo, y una arista de longitud $2r$ en el segundo).

Del mismo modo, si dejamos que $|BO| = r$ (es decir $|AB| = 2r$ ) entonces tenemos $|EC| = (r + x)/2$ y $|AE| = 2x - (r + x)/2 = (3/2) x - r/2$ .

Usando la congruencia de los triángulos $\Delta OBA$ y $\Delta OEA$ obtenemos

$$2r = (3/2) x - r/2$$

Y concluir que $x = (5/3) r$ . Utilizando $|AB| = 2r$ y $|BC| = r + x$ obtenemos

$$\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{3}{4}$$