Si para algún grupo con una operación binaria, (G, *), tenemos ord $a$ := $a^n = 1$ para algún número entero positivo $n$ ¿sería correcto argumentar que..:
Caso 1 (orden finito): ord $ab$ = ord $ba$ :
$(ab)^n = a^n b^n = 1 \iff b^n a^n b^n = b^n \iff b^n a^n (b^n (b^{-1})^n)=b^n (b^{-1})^n \iff $ $b^n a^n = (ba)^n= 1$
Caso 2 (orden infinito): ord $ab$ = ord $ba$ :
ord $ab \to \infty $ como $n \to \infty $ y, por lo tanto, ord $ab$ = ord $ba$
¿Crees que mi prueba es fiable?
¿Sería correcto argumentar, para el caso en que ord $a$ es infinito, que como $(ab)^n \to \infty$ y $(ba)^n \to \infty$ como $n \to \infty$ , entonces ord $ab$ = orden $ba$ ?
@secuencia La definición de " $x$ tiene un orden infinito" es " $x$ tiene un orden infinito si $x^n \neq e$ para todos los enteros $n$ ." Por lo tanto, tiene que demostrar que $(ba)^n\neq e$ .
Dejemos que $G$ sea un grupo. El orden de los elementos de $g\in G$ se define como el orden de grupo del subgrupo cíclico
$\langle g\rangle=\{g^n|n\in\mathbb Z\}$ .
Tenemos $b\langle ab\rangle=\{b(ab)^n|n\in\mathbb Z\}=\{(ba)^nb|n\in\mathbb Z\}=\langle ba\rangle b$ .
Recuerda que para un subgrupo $H\subseteq G$ , todos los cosets $gH$ y $Hg$ tienen el mismo orden que $H$ .
Concluimos $\operatorname{ord}(ab)=|\langle ab\rangle|=|b\langle ab\rangle|=|\langle ba\rangle b|=|\langle ba\rangle|=ord(ba)$ .
(Nótese que con esta prueba no es necesario distinguir entre el caso finito y el infinito).
Alternativamente, si no te gusta usar cosets, hay otra prueba fácil para ambos casos a la vez:
Esta prueba es más adecuada si su conferencia utiliza la definición $\operatorname{ord}(g)=\min\{n\in\mathbb N|g^n=1\}$ .
$ab$ y $ba$ son conjugados, ya que $a^{-1}(ab)a=ba$ .
En consecuencia, tenemos $(ba)^n=(a^{-1}(ab)a)^n=a^{-1}(ab)^na\ \forall\ n\in\mathbb Z$ .
Concluimos $(ba)^n=1\ \Leftrightarrow\ a^{-1}(ab)^na=1\ \Leftrightarrow\ a(a^{-1}(ab)^na)a^{-1}=aa^{-1}\ \Leftrightarrow\ (ab)^n=1$ .
Por lo tanto, $\operatorname{ord}(ab)$ y $\operatorname{ord}(ba)$ deben coincidir.
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Si el grupo no es abeliano la fórmula $(ab)^n=a^nb^n$ no se sostiene necesariamente. Me temo que eso arruina tu cálculo en su primer paso. Otra cosa que vale la pena destacar es que en la definición de orden es crucial que $n$ debe ser el El más pequeño entero positivo con la propiedad $a^n=1$ . Por último, pero no menos importante. Sugerencia: intente la conjugación.