Teoría de grupo: ord(ab) = ord(ba) - Prueba

Question

Si para algún grupo con una operación binaria, (G, *), tenemos ord $a$ := $a^n = 1$ para algún número entero positivo $n$ ¿sería correcto argumentar que..:

Caso 1 (orden finito): ord $ab$ = ord $ba$ :

$(ab)^n = a^n b^n = 1 \iff b^n a^n b^n = b^n \iff b^n a^n (b^n (b^{-1})^n)=b^n (b^{-1})^n \iff$ $b^n a^n = (ba)^n= 1$

Caso 2 (orden infinito): ord $ab$ = ord $ba$ :

ord $ab \to \infty$ como $n \to \infty$ y, por lo tanto, ord $ab$ = ord $ba$

¿Crees que mi prueba es fiable?

Answer 1

En general, $(ab)^n = a^n b^n$ no es cierto en los grupos.

Para un pedido finito, le aconsejo que escriba

$$(ab)^n = abababab\dots ab = a(bababa\dots ba)a^{-1}$$

Answer 2

Dejemos que $G$ sea un grupo. El orden de los elementos de $g\in G$ se define como el orden de grupo del subgrupo cíclico

$\langle g\rangle=\{g^n|n\in\mathbb Z\}$ .

Tenemos $b\langle ab\rangle=\{b(ab)^n|n\in\mathbb Z\}=\{(ba)^nb|n\in\mathbb Z\}=\langle ba\rangle b$ .

Recuerda que para un subgrupo $H\subseteq G$ , todos los cosets $gH$ y $Hg$ tienen el mismo orden que $H$ .

Concluimos $\operatorname{ord}(ab)=|\langle ab\rangle|=|b\langle ab\rangle|=|\langle ba\rangle b|=|\langle ba\rangle|=ord(ba)$ .

(Nótese que con esta prueba no es necesario distinguir entre el caso finito y el infinito).

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Alternativamente, si no te gusta usar cosets, hay otra prueba fácil para ambos casos a la vez:

Esta prueba es más adecuada si su conferencia utiliza la definición $\operatorname{ord}(g)=\min\{n\in\mathbb N|g^n=1\}$ .

$ab$ y $ba$ son conjugados, ya que $a^{-1}(ab)a=ba$ .

En consecuencia, tenemos $(ba)^n=(a^{-1}(ab)a)^n=a^{-1}(ab)^na\ \forall\ n\in\mathbb Z$ .

Concluimos $(ba)^n=1\ \Leftrightarrow\ a^{-1}(ab)^na=1\ \Leftrightarrow\ a(a^{-1}(ab)^na)a^{-1}=aa^{-1}\ \Leftrightarrow\ (ab)^n=1$ .

Por lo tanto, $\operatorname{ord}(ab)$ y $\operatorname{ord}(ba)$ deben coincidir.