¿Existe una fórmula general para la suma de una secuencia cuadrática?

Question

He intentado buscar en Google "fórmula para la suma cuadrática de la secuencia", que no me ha dado nada útil. Sólo quiero un explícito fórmula para calcular la suma de una ecuación cuadrática de la secuencia. Por ejemplo, ¿cómo podría usted calcular la suma de $2+6+12+20+\dots+210$? Por favor alguien puede ayudar? Gracias

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Para aquellos de ustedes que no saben, una ecuación cuadrática de la secuencia es una secuencia en la que las diferencias de las diferencias entre los términos son constantes. Vamos a usar $2+6+12+20+\dots$ como un ejemplo. Las diferencias entre los términos son $4$, $6$, $8$, etc. La diferencia entre las diferencias de las condiciones es $2$. Así que la secuencia continuará como $2+6+12+20+30+42+56+72+\dots$

Answer 1

Sí que la hay. Alguna vez se preguntó por qué esto se llama cuadrática de la secuencia? Cuadrática se refiere a las casillas de la derecha? Esto es sólo diferencia constante de la diferencia. Así que ¿dónde está la conexión? Así como resulta que todos los términos de una ecuación cuadrática de la secuencia se pueden expresar mediante un polinomio cuadrático. ¿A qué me refiero? Considere la posibilidad de este

$$ t_n = n+n^2 $$

Subsituiting $n=1,2,3,\cdots$ genera sus términos. Por el camino, $202$ no se producen en esta secuencia, el 13 de plazo es $182$ e las $14th$ plazo es $210$. Estoy asumiendo que iba a ser $210$.

Así que tenemos que encontrar

$$ \sum_{i=1}^{n}i+i^2 = \sum_{i=1}^{n}+\sum_{i=1}^{n}i^2 $$

donde $n=14$. No son bien conocidos fórmulas para$\sum_{i=1}^{n}i$$\sum_{i=1}^{n}i^2$. La sustitución de ellos, nos,

$$\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$=\frac{n(n+1)}{2}\left(1+\frac{2n+1}{3}\right)$$ $$=\frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{3+2n+1}{3}\right)$$ $$=\frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+4}{3}\right)$$ $$=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

donde $n=14$. Por lo tanto nuestra suma es $1120$.

Answer 2

Para el caso general, se deben sumar N términos.

PS

La fórmula para el n-ésimo término es$$S=a_0+a_1+a_2+...+a_{N-1}$ $

Utilizando los resultados

PS

y

PS

lleva a

PS

Answer 3

Aunque esto puede no ser necesario a partir de ahora; pero yo pensaba acerca de las sumas de las cuadrática secuencias de mí mismo y me las arreglé para deducir una fórmula general para ella, así que bien podría publicar aquí:

Donde es el número de términos de cálculo, es el inicio del plazo, es la primera diferencia y es la diferencia constante entre las diferencias. Yo uso el subíndice para indicar que es la cuadrática de secuencia de la función suma.

Answer 4

En este caso en particular, $$\begin{align} &2+6+12+20+\cdots+210\\\\ &=2(1+3+6+10+\cdots+105)\\\\ &=2\left[\binom 22 +\binom 32 +\binom 42+\binom 52+\cdots \binom {15}2\right]\\ &=2\sum_{r=2}^{15}\binom r2\\ &=2\binom {16}3\\ &=\color{red}{1120}\qquad\blacksquare \end{align}$$

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Esta es la suma de los números triangulares (donde la diferencia la diferencia es constante) y el resultado es un piramidal número (todos escalado por 2). La suma puede ser mostrado como

$$\begin{align} &2\cdot (1)+\\ &2\cdot (1+2)+\\ &2\cdot (1+2+3)+\\ &2\cdot (1+2+3+4)+\\ &\quad \vdots\qquad\qquad\qquad\ddots\\ &2\cdot (1+2+3+\cdots+15) \end{align}$$

Si tratamos de suma de una serie, donde la diferencia de la diferencia de la diferencia es constante, es decir, la suma de los números piramidales, el resultado sería una pentatope número. Y así sucesivamente...

Un ejemplo de la suma de números piramidales, que se extiende desde la pregunta original, sería

$$2+8+20+40+\cdots+910 =2 \sum_{r=1}^{15} \binom r3=2 \binom {16}4=1820\\$$

Answer 5

Para el caso general, se deben sumar N términos.

S = a0 + a1 + a2 + ... + aN − 1

La fórmula para el n-ésimo término es an = a0 + (a1 − a0) n + (a2−2a1 + a0) n (n − 1) 2

Utilizando los resultados

∑n = 0N − 1n = N (N − 1) 2

y

∑n = 0N − 1n (n − 1) = N (N − 1) (N − 2) 3

lleva a

S = ∑n = 0N − 1an = a0N + (a1 − a0) N (N − 1) 2+ (a2−2a1 + a0) N (N − 1) (N − 2) 6

por el profesor digomo ms