Resolviendo

Question

$x^{\left\lfloor x \right\rfloor}\; =\; 2014$

Mathematica dice que no hay soluciones, pero ¿cómo llega realmente a la conclusión de que no existe una solución para esta ecuación?

Answer 1

Supongamos $x < 0$. A continuación, el LHS tendrá una estrictamente exponente entero negativo: $\lfloor x \rfloor = k$ donde $k \in \{ -1, -2, \ldots \}.$ por lo tanto se requerirá $x = (2014)^{1/k}$, pero este número es positivo, por lo que llegamos a una contradicción. Por lo tanto $x > 0$.

De hecho, debemos tener $x > 1$, para los si $0 < x \le 1$, entonces el LHS es, obviamente,$1$. Ahora observe que debido a que $x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$, debemos tener $$x^{x-1} < x^{\lfloor x \rfloor} \le x^x.$$ Hence by direct calculation, we find $$4 < x < 5.$$ That is, $x = 4 + \epsilon$ for $\epsilon \en (0,1)$. Then we have $$x^{\lfloor x \rfloor} = (4+\epsilon)^4.$$ If we require this to equal $2014$, then solving for $\epsilon$ immediately yields $$\epsilon = (2014)^{1/4} - 4 \approx 2.69908 \not\in (0,1),$$ por tanto, tal solución no existe.

Sin calcular el valor numérico de $\epsilon$, también podemos determinar fácilmente que supera $1$$2014 > 1296 = 6^4$, por lo tanto $(2014)^{1/4} > 6$.

Answer 2

Bueno, es una forma de la parcela, y se verá que la curva es discontinuo y saltos a lo largo de 2014.

                                   
Por supuesto, esta función es siempre creciente, por lo que la discontinuidad aquí es suficiente para mostrar que no hay una solución :)