¿Cómo calcular explícitamente los puntos de p-torsión de una curva elíptica general en forma de Weierstrass?

Question

Considerar la Weierstrass cúbicos $$y^2z = x^3 + A\, xz^2+B\,z^3.$$ De esta forma se define una curva de $E$$\mathbb{P}^2$, que si es suave, es una curva elíptica con punto de base en $[0,1,0]$.

Estoy interesado en tener una explícita descripción de la legitimación de $p$-torsión de los puntos de esta curva, donde $p$ es primo.

En efecto, supongamos $p\neq 3$. Idealmente me gustaría ser capaz de encontrar una curva de $C$$\mathbb{P}^2$, dado por una ecuación de $f=0$ grado $d=(p^2-1)/3$, por lo que el esquema de $X=E\times_{\mathbb{P}^2} C$ es, precisamente, el lugar geométrico de los puntos de exacta orden de $p$.

Ejemplo: Para $p=2$, es bien sabido que el $f=y$ da una curva.

Me gustaría $f$ es una expresión que depende de la $A$ $B$ ; es decir, yo quiero hacer esto más de una parte genérica de los módulos de la pila. También me gustaría esta expresión para trabajar en característica p; en este caso, $X$ debe llegar a ser el "esquema de representación de Drinfeld estructuras a nivel de la $\mathbb{Z}/p\to E$". (Edit: estoy particularmente interesado en las familias de curvas que incluyen supersingular curvas.)

(Mi ejemplo de la curva de $E$ nunca es suave en el carácter $2$, pero si usted se considera más general de la forma de Weierstrass, que es suave en char. $2$, entonces usted puede encontrar un grado $1$ curva de $C$ que hace lo que le pido. Por ejemplo, si $E: y^2z+A\,xyz+yz^2=x^3$, tome $f=A\,x+2\,y+z$.)

Así que mis preguntas son:

1. Es posible encontrar una ecuación de $f=0$ tal que $E\cap C$ es exactamente el $p$-torsión? (Es esta la misma pregunta que $X$ es una completa intersección?) Puede que nunca muestran que no es posible?
2. Hay métodos conocidos para calcular el locus de $p$-torsión puntos explícitamente? Hay paquetes de software que hace esto? (Soy consciente de que hay maneras de encontrar explícito de torsión puntos en curvas elípticas definidas sobre algún campo o el número de anillo; estoy pidiendo algo un poco diferente, creo.)
3. Tienen las personas llevan a cabo estos tipos de cálculos para diferentes valores pequeños de a $p$ (aun $p=5$), y son estos los cálculos descritos en la impresión? (Probablemente estoy más interesado en esta cuestión.)

Advertencia: yo no soy un algebraicas aparejador o el número teórico.

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Division_polynomials

No es la mejor página de wikipedia. "Los polinomios división forman una secuencia de divisibilidad elíptica." se menciona antes de lejos más importante "las raíces del polinomio división n'th decirte la torsión n en la curva".

Answer 2

Desde que le preguntó sobre el software, tan solo me gustaría señalar (si no sabes ya) que SAGE (disponible en sagemath.org) se puede calcular de la división de polinomios fácilmente. Los comandos

R.<A,B> = PolynomialRing(GF(5))

E = EllipticCurve([A,B])

f = E.division_polynomial(5)

f

devolver el resultado

2*A*x^10 - A^2*B*x^5 + A^6 - 2*A^3*B^2 - B^4.

Las advertencias de los comentaristas de aplicar; usted debe ser cauteloso acerca de la interpretación de la división de polinomios. Es cierto que las raíces de este polinomio se dará la "física" de 5 puntos de torsión de la curva elíptica en carácter 5, pero eso es todo lo que dice. El polinomio no le dice, por ejemplo, la estructura del esquema de grupo E[5] a través de la supersingular locus.

Un poco más útil podría ser el grupo formal asociado a esta familia:

G = E.formal_group()

G.mult_by_n(5,30)

que devuelve

2*A*t^5 + (2*A^6 - A^3*B^2 - B^4)*t^25 + O(t^30)

También hay un comando G.group_law() cuya salida no voy a dar aquí. Juntos, estos datos dan la estructura de E[5] a través de un infinitesimal barrio de la sección cero de la curva elíptica sobre $\text{Spec}\mathbf{F}_5[A,B,\Delta^{-1}]$.

Soy un firme creyente en los cálculos explícitos como un medio para desarrollar la intuición sobre algebro-conceptos geométricos. Pero por todos los medios de lectura Katz-Mazur :-).

Answer 3

Aquí es un intento de responder a mi propia pregunta, el uso de la "división polinomios" de Kevin y Jared respuestas. Es probablemente el máximo ingenua idea, y no voy a decir que funciona, aunque no es claro para mí que no se puede. He wiki de la comunidad-ed esta respuesta, ya que probablemente no deseado de todos modos ...

Fix $A,B\in \mathbb{Z}$, la obtención de una curva elíptica $E$ sobre $S=Spec \mathbb{Z}[\Delta^{-1}]$, and a prime $p\geq 5$ no la división de la discriminante $\Delta=\Delta(A,B)$. El división de polinomio $\psi_p(t)$ se supone que es un polinomio de grado $d=(p^2-1)/2$$\mathbb{Z}$, cuyas raíces son los valores $t(P)=x(P)/z(P)$ $P$ rangos de los puntos del orden exacto $p$ en $E$.

Gire a la $\psi_p$ a un polinomio homogéneo $g$ grado $d$ en $\mathbb{Z}[x,y,z]$, por lo que el $g(x,y,1)=\psi_p(x)$. El polinomio deterimes una curva de $C=(g)$$P^2/S$, y por lo tanto cerrado subscheme $D=E\cap C$ $E$ . Más $\mathbb{Z}[\Delta^{-1},p^{-1}]$, $D$ debe consisten en los puntos del orden exacto $p$ $E$ (con multiplicidad $1$), junto con el punto de referencia $E$ con multiplicidad $d$.

La reclamación. $D$ es un eficaz Cartier divisor en $E/S$, de grado $3d$.

Prueba. No sé. Necesito demostrar que $D\a S$ es plana, la principal preocupación de ser el comportamiento más $\mathbb{Z}_{(p)}$. Ni siquiera sé si esto es realmente plausible en general.

Vamos a suponer que de alguna manera sabemos $D$ es un eficaz divisor de Cartier en $E$ en relación a la base de $S$. Hay otro pariente Cartier divisor, es decir, $$ D' = E[p] \quad + \quad (d-1)[0]$$ donde $E[p]$ $p$- torsión subgrupo esquema de $E$, e $[0]$ es la grado de un divisor de el punto de referencia $E$. Parece claro que , lejos de la característica $p$, los divisores $D$ y $D'$ son iguales. La igualdad efectiva de divisores en una curva suave es un estado cerrado, por lo que debe ser el mismo en todos $S$.

El divisor que yo quiero es lo $D''=D-d[0]=D'-d[0]$ (lo que es todavía efectiva). A continuación, es realmente fácil encontrar un polinomio homogéneo $h$ grado $2d/3$, lo que define a $D''$; debido a la forma de la Ecuación de Weierstrass, que puede producir a partir de $g$ a mano, y si mi reclamación es cierto que puede producir a nivel mundial, es decir, con coeficientes en $\mathbb{Z}[A,B]$.

He realizado esto en el caso de $p=5$, y parece que la "obra". Que es, me da una respuesta en la que aparece sano para general$A$$B$, y lo que para algunos explícito de los casos he tratado de $A,B\in \mathbb{Z}$ aparece para darme una tv de $D\to S$. Por ejemplo, si $E/\mathbb{Z}[6^{-1}]$ es la curva de con $(A,B)=(0,1)$ (que se reduce a un supersingular de la curva de a $p=5$), me parece que $$h= 729z^{8}-1350x^4z^4+360x^6z^2+5x^8.$$