En la gráfica de$f(x)=x^x$

Question

Estoy un poco desconcertado por el siguiente:

                                      

                                                                        Figura 1

Este es el gráfico de $f(x)=x^x$, con sus partes reales y sus imaginarios piezas que se muestran, y de manera similar:

                                              

                                                                       Figura 2

así es esto, excepto que aquí, evidentemente, sólo la parte real se muestra, o no? Entiendo que para los valores de $\lbrace{x:x\notin\mathbb Z,x<0\rbrace}$, $f(x)$ tendrá una parte imaginaria, ya que habrá algunas más severa negativa raíces aquí. Por lo tanto, si nos quedamos sólo extrapolar los valores de $\lbrace{f(x):f(x)\in\mathbb R\rbrace}$, en el gráfico se habría discontinuidad en todas partes además de los puntos aislados tal que $\lbrace{x:x\in\mathbb Z,x<0\rbrace}$ similar a la de Firgure 1, entonces, ¿por qué en la gráfica de la Figura 2 no continuar para todos los valores de $x < 0$?

En el siguiente vídeo en el que Blackpenredpen del canal, él menciona que es a causa de la necesidad de la continuidad que se descartan los valores de $f(x)$ tal que $x\leq0$, pero ¿por qué es que podemos hacer esto? Si derivamos la mayoría de nuestra comprensión matemática de fenómenos naturales, la gráfica de $f(x)=x^x$ no, naturalmente, acaba de empezar a $x=0$, así que ¿por qué aceptamos esto como un estándar de la gráfica de esta función?

                                                   Gráfico de $y=x^x$ por blackpenredpen

Para aquellos de ustedes a quienes el vídeo no se ajuste a la hora deseada, los bits del video me estoy centrando en es $2:33$.

Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.

Answer 1

Tu Figura 1 no van lo suficientemente lejos. Es cierto que no hay ninguna parte imaginaria en $x=-1$, pero no es una parte imaginaria de $-2<x<-1$ (e $-3<x<-2$ y así sucesivamente). Así que si usted acaba trazan el valor real gráfico debe tener algunos puntos aislados en$x=-k$$k\in\mathbb N$, pero no se pueden definir en cualquier intervalo por debajo de $0$.

Answer 2

Como otras respuestas ya cubierto, sí, puede incluir los puntos aislados en los números enteros negativos, pero por lo general, no nos gusta mezclar discretos y continuos de trazado, y en términos de funciones continuas en los números reales, esto no está definido para números negativos.

También, una vez que estás en números complejos, usted tiene que tener cuidado acerca de la elección de una rama - por lo general hay más de una respuesta y para hacer de él un solo valor de la función, por lo general, no es un acuerdo que nos referimos. Un ejemplo es

$$f(z)=\sqrt{z}$$

En sí, este se define sólo por $z\geq 0$, y podemos definir la raíz de un número positivo. Si usted se extienden de este a $z<0$, es la parte imaginaria positiva o negativa? Recordemos que $y^2=z$ tiene dos raíces: $y=\pm \sqrt{z}$. Para los positivos reales, elegimos el signo más, pero para el negativo, la respuesta es imaginario, y tenemos que elegir de nuevo. Lo peor de todo, es que en los números complejos no hay ningún orden (desigualdades no tiene sentido), así que de nuevo sólo tiene que hacer un acuerdo.

Para funcionar, es similar. Usted puede volver a escribir $$z^z=e^{z \ln z}$$ pero el logaritmo negativo de los números reales es, en principio, $$\ln z=\ln |z| + \pi i +2\pi i k$$ para cualquier entero $k$. Para ser justos, lo mismo es cierto en el sentido positivo del eje, pero no, se elige la rama que es real para todos los $z$. En la negativa, no tenemos esa opción, por lo que el trazado de la parte imaginaria implica que tenemos arbitrariamente escogido una de las ramas.

Con todas estas ambigüedades, por lo general acaba de saltar los puntos aislados y decir que es indefinido en reales, y cuando entramos en el plano complejo, también utilizamos un complejo argumento, por lo que toda función es compleja→complejo y nos ocupamos de las superficies de Riemann que codifican la multivalor la naturaleza de las soluciones. Trazado real→complejo rara vez tiene sentido.

Answer 3

Si su objetivo es definir la función con valores reales$x^x$ en un subconjunto máximo de$\Bbb R$, entonces$\Bbb R^+\cup\Bbb Z\setminus\{0\}$ probablemente sea el camino a seguir. Pero la mayoría de las veces,$x^x%$ se considera una función continua, diferenciable o analítica y, por lo tanto, los puntos aislados no son de interés. Cuál es el dominio correcto para su función depende de su aplicación.