Sé que la topología débil* es la topología más débil para que $Jx$ es continua para $\forall x\in X$ , donde $J$ es la isometría de $X$ a $X''$ . Pero, ¿qué es exactamente esta topología? ¿Qué aspecto tiene el conjunto abierto en general?
Y además, quiero demostrar que otra topología inducida por la métrica es exactamente la topología débil*. ¿Cómo puedo demostrar que esta topología es más débil que la topología débil*, para que sea exactamente la topología débil*?
Los conjuntos débiles*-abiertos (no vacíos) contienen subespacios de dimensión infinita, por lo que en este sentido son enormes.
A grandes rasgos, tenemos menos conjuntos abiertos y, por tanto, más conjuntos compactos. Esto se refleja en el teorema de Banach-Alaoglu que dice que un conjunto polar de cualquier nbhd del origen en $X$ es débilmente* compacto en $X^*$ .
Se trabaja con espacios de Banach con duales separables. En este caso, la bola dual (que es débil*-compacta) es metrizable. Por lo tanto, no se puede encontrar ninguna otra topología compacta de Hausdorff (en particular, ninguna otra topología que dé una métrica que sea compacta) que sea más débil que la topología (relativa) débil*, ya que las topologías compactas de Hausdorff son mínimas.
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