Relación entre el apoyo total y la indecomposibilidad total.

Question

Tengo que demostrar que si una matriz no negativa $A$ total apoyo, a continuación, existen $P,Q$ matriz de permutación tal que $$PAQ=\bigoplus_{i=1}^k A_i$$ where $A_i$ is fully indecomposable $\forall i=1,\dots, k$ and the $\bigoplus$ símbolo significa "suma directa" de las matrices.

He encontrado muchos de referencia en este teorema, pero no es completa.

¿Podría usted ayudarme?

Algunos papeles he encontrado citar , pero no puedo encontrar un vínculo entre los dos.

Answer 1

Deje $A$ ser un no-negativo $n\times n$ matriz.

Si $\sigma$ es una permutación de $\{1,\ldots,n\}$ las entradas $a_{1\sigma(1)},\ldots,a_{n,\sigma(n)}$ se llama diagonal de $A$.

Una diagonal de $A$ es positivo si no contiene ningún cero de la entrada.

Un no-negativo de la matriz $A$ total apoyo si cada $a_{ij}\neq0$ pertenece a algún positiva de la diagonal de A.

Por lo $A$ no tiene apoyo total si y sólo si no es $a_{ij}\neq0$ de manera tal que la submatriz obtenida por la eliminación de la fila $i$ y la columna $j$ no tiene ningún positivo en diagonal.

Frobenius-König teorema dice que $A$ no contiene una positiva diagonal (su permanente es cero) si y sólo si existe una submatriz de Un ocupante s filas y t columnas, que es idéntica a cero, tal que $s+t>n$.

Ahora, suponga que $A$ no es totalmente indecomposable, pero tiene total apoyo. Entonces existen matrices de permutación $P,Q$ tales que $PAQ=\begin{pmatrix}X_{s\times s} &Y_{s\times n-s}\\ 0_{n-s\times s}&Z_{n-s\times n-s}\end{pmatrix}$.

Si $Y_{ij}\neq 0$, a continuación, eliminar la fila y columna obtenemos una submatriz $M$ $PAQ$ orden $n-1$. Observe que $O_{n-s\times s}$ todavía es una submatriz de a$M$$n-s+s=n>n-1$. Por lo tanto, $M$ no contiene una diagonal positiva y $PAQ$ no tiene apoyo total. Absurdo! Por lo $Y_{s\times n-s}$ debe ser idéntica a cero.

Ahora, el uso de la inducción en $X$$Z$.