Una baraja con 52 naipes está bien mezclada y las cartas se indican sucesivamente, hasta que aparece el primer as. ¿Es más probable que la siguiente carta sea el as de picas o el corazón dos?
Mi idea era que la probabilidad de sacar el as de picas o el corazón dos es la misma con $\frac{4}{52}$ pero eso no parece correcto. ¿Puede alguien ayudarme?
Gracias de antemano.
La probabilidad de que la siguiente carta después del primer as sea el dos de corazones es de 1/52. Sorprendentemente, la probabilidad de que sea el as de picas también es de 1/52.
Para hallar la probabilidad de que la siguiente carta sea el as de picas, imaginemos que repartimos las 52 cartas. Esto se puede hacer en $52!$ formas, todas las cuales suponemos que son igualmente probables. Queremos contar las disposiciones en las que el as de picas sigue inmediatamente al primer as repartido. Cada ordenamiento de las 52 cartas puede producirse repartiendo primero todas las cartas excepto el as de picas, y luego insertando el as de picas en ese ordenamiento. Hay $51!$ formas de organizar el primer grupo de cartas, y sólo hay un lugar para insertar el as de picas para que siga inmediatamente al primer as. Así que hay $51!$ arreglos en los que los ases de picas siguen al primer as. Por lo tanto, la probabilidad de que la carta que sigue al primer as sea el as de picas es $$\frac{51!}{52!} = \frac{1}{52}$$ Por el mismo argumento, sustituyendo simplemente el as de picas por el dos de corazones anterior, la probabilidad de que la carta que sigue al primer as sea el dos de corazones es también $1/52$ .
No lo creo. Para el dos de corazones tienes que pensar en la posibilidad de que sea la primera carta de la baraja. Para el as de picas tienes que pensar en la posibilidad de insertarlo como el primero de los ases. Si haces estas correcciones deberías obtener la misma respuesta que @drhab . Para verlo más claro, piénsalo para una baraja de tres cartas con dos ases y el dos de corazones.
@EthanBolker Jugando el juego con dos de corazones y dos ases entre los cuales el as de picas me convenció de que estoy equivocado en alguna parte, y torpe es correcta. Seguramente esta es una pregunta complicada.
Esta pregunta parece complicada, si la condición cambia a "hasta que aparezcan los 4 ases", ¿cuál es su respuesta?
Esto podría arrojar algo de luz.
Puedes conseguir una baraja bien mezclada como esta.
Coloca una carta. Entonces hay dos lugares para colocar la segunda carta: a la izquierda de la primera o a la derecha. Deja que una moneda (o un dado virtual de dos caras) decida al respecto. A continuación, hay $3$ lugares para la tercera carta: a la izquierda, en medio o a la derecha de las dos cartas que ya estaban colocadas. Siguiendo así llegamos a un punto que $51$ las cartas se colocan y $52$ lugares equiprobables están ahí para la última carta. Sólo hay un lugar para ella tal que -si se coloca allí- podemos decir que esta última carta colocada es la siguiente del primer as. Esto no importa qué carta sea: corazón dos, as de picas o alguna otra carta.
Conclusión: en una baraja bien mezclada cada carta tiene probabilidad $\frac1{52}$ para ser la siguiente carta después del primer as.
Es más probable que la siguiente carta sea el corazón dos, y la probabilidad del corazón dos frente al as de picas es de 4:3. Sea $A$ denota el as de picas, $B$ denota el corazón dos, y $a_1, a_2, a_3$ denotan as de otros 3 colores. Hay $3 \times 3!$ formas de dejar $A$ sea después de la primera $a_i$ :
$\{a_1, A, ...\}$$ \N - a_2, A, ...\N - en el que se encuentra el nombre de la empresa. $$\{a_3, A, ...\}$
y hay $4 \times 3!$ maneras de dejar a B después de la primera $A$ o $a_i$ :
$\{a_1, B, ...\}$$ \N - a_2, B, ...\N - en el que se encuentra el nombre de la empresa. $$\{a_3, B, ...\}$$ \{A, B, ...\}$
Hasta ahora, podemos obtener el versus de probabilidad entre las dos cartas. Pero para la probabilidad exacta, necesitamos más cálculos. Para todas las 52 cartas, hay $52!$ formas de permutarlas. Para las otras 47 cartas (excluyendo $A,B,a_1,a_2,a_3$ ), hay $47!$ formas de permutarlas. Así que la probabilidad de $A$ después de la primera $a_i$ es
$\frac{47! \times 3 \times 3! \times C}{52!}$
y la probabilidad de $B$ después de la primera $A$ o $a_i$ es
$\frac{47! \times 4 \times 3! \times C}{52!}$
donde $C$ es el número de formas de insertar las 5 tarjetas (han sido permutadas) en 48 ranuras de 47 tarjetas, requiriendo que las 2 primeras tarjetas estén en la misma ranura. Una solución de $C$ es considerar 1,2,3,4 ranuras por separado.
1 ranura: $C_{48}^1 \times C_3^0$ , como #####
2 ranuras: $C_{48}^2 \times C_3^1$ como ##|###, ###|##, ####|#
3 ranuras: $C_{48}^3 \times C_3^2$ como ##|#|##, ##|#|#, ##|#|#
4 ranuras: $C_{48}^4 \times C_3^3$ como ##|#|#|#
Sumando todos ellos, obtenemos 249900 formas. Así que la probabilidad del as de picas junto al primer as es $\frac{3}{208}$ y el corazón dos junto al primer as es $\frac{1}{52}$ .
Para ver que en realidad es 1/52 para todas las cartas, considere el ejemplo más pequeño de una urna con 2 rojas y 2 verdes. Si se elige sin reemplazo, la probabilidad de que la bola que sigue a la primera G sea Verde es 1/2. Hay 6 ordenaciones de RRGG y 3 de ellas tienen G's consecutivas. Si distingues las G's entonces 1/4 de las veces obtienes G1 G2 consecutiva y 1/4 obtienes G2 G1 consecutiva. Por último, con las cartas, por simetrías obvias tu solución dice que hay 48 cartas con probabilidad 1/48 y 4 con probabilidad 3/208 de ser la primera después del primer As. No suma 1.
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Sólo hay un as de picas en la baraja, no cuatro. La probabilidad de sacar un as de picas de una baraja llena y barajada es entonces $\frac{1}{52}$ no $\frac{4}{52}$ . Lo mismo ocurre con los dos corazones. En cuanto al escenario específico que describes, acabas de sacar un as que podría haber sido el propio as de picas. Está claro que es imposible sacar el as de picas después de haber sacado el as de picas, así que saber que acabas de sacar un as debería disminuir la probabilidad de que el siguiente sea un as de picas.
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Para abordar el problema de manera más formal, considere el escenario relacionado en el que se toma la baraja de cartas y se busca y saca un as al azar ( observando que será el as de picas 1/4 de las veces ). Tome el resto de $51$ cartas y barajarlas. Encuentra la probabilidad de que la carta extraída de esta baraja más pequeña de $51$ cartas es el dos de corazones contra el as de picas.