De acuerdo a wikipedia, usted necesita el Axioma de Elección para encontrar un discontinua mapa entre dos espacios de Banach.
¿Este procedimiento se aplican también para las álgebras de Banach produciendo un discontinua multiplicativo lineal mapa?
O, ¿hay alguna obstrucción, asegurando que cada algebraicas homomorphism entre dos álgebras de Banach es continua? (Sé que esto es cierto para $*$-homomorphisms entre las C*-álgebras.)
"Hay" ejemplos de discontinuos homomorphisms entre álgebras de Banach. Sin embargo, las comillas son porque la pregunta es independiente de la habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos. Cito a partir de la introducción de W. Hugh Woodin, "discontinuo homomorphism de $C(X)$ sin CH", J. Londres Matemáticas. Soc. (2) 48 (1993), no. 2, 299-315, MR1231717:
Supongamos que $X$ es un infinito compacto Hausdorff espacio y deje $C(X)$ ser el álgebra de real continua de las funciones con valores en $X$. A continuación, $C(X)$ es una de Banach conmutativa álgebra relativa a la supnorm: ${}\|f\|= \sup\{f(p)\mid p\in X\}$. Una conocida cuestión de la I. Kaplansky plantea alrededor de 1947 se pregunta si cada álgebra homomorphism de $C(X)$ en un álgebra de Banach $B$ es necesariamente continua.
Hay una discontinuo homomorphism de $C(X)$ si y sólo si hay un discontinua homomorphism de $C(X, {\mathbb C})$, $C^*$- álgebra de complejo continuo de las funciones con valores en $X$. Preferimos tratar con el caso real; algunas de las referencias adoptar la perspectiva compleja. La pregunta es ahora conocido por ser independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos, ZFC. H. G. Dales [1] y J. Esterle [3] de forma independiente construido discontinuo homomorphisms de $C(X)$ para cualquier espacio infinito $X$ suponiendo que el Hipótesis continua, CH. Casi al mismo tiempo R. Solovay [4] demostró que es relativamente consistente con ZFC que cada homomorphism de $C(X)$ para cualquier espacio X es necesariamente continua. Solovay el resultado fue una mejora de [5] muy pronto a partir de entonces, para obtener la consistencia relativa con ZFC + Martin, el Axioma de (ZFC + MA), que cada homomorphism de $C(X)$ para cualquier espacio de $X$ es continua. Nos referimos al lector a [2] para una exposición de este último resultado sobre MA, lugares históricos y resultados relacionados.
Después de estos resultados a varias preguntas que quedaron. Este documento se refiere a la cuestión de si la existencia de un discontinuo homomorphism de $C(X)$ es posible, dado el fracaso de la Hipótesis continua.
Las referencias mencionadas anteriormente son:
Creo Solovay de la construcción original es simplemente sustituida por la de Hugh resultado, como se describe en su tesis. En cualquier caso, la referencia 2 es particularmente buena para aprender sobre este fascinante tema.
Poco después, en estados unidos Todorcevic, Partición de Problemas de la Topología (la Matemática Contemporánea), la Sociedad Matemática Americana (enero de 1989), MR980949, se muestra que la continuidad de homomorphisms entre álgebras de Banach es un teorema de ZFC + PFA. Orden de protección es el adecuado forzar axioma, un fortalecimiento de Martin axioma.
También hay una mucho más reciente referencia: H. Garth los Valles, Álgebras de Banach y Automática de la Continuidad (Sociedad Matemática de Londres Monografías Nueva Serie), Oxford University Press, Estados Unidos (17 de Mayo de 2001). MR1816726 y Revisión por parte de George Willis en el Boletín de la SGA.
Agregado: (T. B.) Una excelente primera introducción a la automática de la continuidad de H. G. Dales la contribución (Parte I) Dales et. al. Introducción a las álgebras de Banach, los operadores, y el análisis armónico, LMS Textos para los Estudiantes, Cambridge University Press (2003) versión electrónica (2009), MR2060440
Usted puede construir un ejemplo "tonto" de un homomorfismo discontinuo como sigue: % Let $\omega: E \to \mathbb{C}$ser cualquier discontinuidad lineal funcional en un espacio de Banach. (Asumiendo el axioma de elección, existe.) Gire a la $E$ y $\mathbb{C}$ % de álgebras de Banach $E_0$y $\mathbb{C}_0$ por definir el producto de cualquier dos elementos a ser cero. N. B. que este es no el álgebra de Banach estándar estructura en $\mathbb{C}$, por supuesto. El mapa $\omega$ es entonces un homomorfismo discontinua de $E_0$ $\mathbb{C}_0$.
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