Si $a$ et $b$ son impar entonces $a^2+b^2$ no es un cuadrado perfecto

Question

Demuestre si $a$ et $b$ son impar entonces $a^2+b^2$ no es un cuadrado perfecto.

Hemos estado aprendiendo las pruebas por contradicción y nos han dicho que utilicemos el Algoritmo Euclidiano.

Lo he intentado tanto por escrito como por contradicción y no consigo llegar a nada.

Answer 1

Todos los cuadrados son congruentes con 1 o 0 mod 4. Si son Impares son congruentes a 1 mod 4. por lo tanto la suma de dos cuadrados Impares es congruente a 2 mod 4. Por lo tanto no es un cuadrado.

Answer 2

Esta es una forma diferente de hacerlo.

Supongamos que $a^2+b^2=c^2$ con $a$ et $b$ impar, entonces $c^2$ es par, por lo que debe ser divisible por $4$ .

Consideremos ahora el cuadrado par $(a+b)^2=c^2+2ab$ . Los dos primeros términos son divisibles por $4$ mientras que $2ab$ es el doble de un número impar, por lo que la ecuación no puede sostenerse.

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También se puede ir a $(a+b+c)(a+b-c)=2ab$ con los dos factores de la izquierda pares, pero el lado derecho no divisible por $4$ .

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Tenga en cuenta también que $(2m+1)^2=8\left(\dfrac {m(m+1)}{2}\right)+1\equiv 1 \bmod 8$ y, aunque se trabaje con el módulo $4$ es suficiente aquí, este hecho más fuerte es útil de conocer.

Answer 3

Dejemos que $a=2m+1$ et $b=2n+1$ .

Supongamos que $a^2+b^2=k^2$ . Entonces: $$(2m+1)^2+(2n+1)^2=k^2 \iff \\ 4(m^2+m+n^2+n)+2=k^2 \iff \\ 4(m^2+m+n^2+n)+2=(2r)^2 \iff \\ 2(m^2+m+n^2+n)+1=2r^2 \iff \\ 2s+1=2r^2,$$ que es una contradicción. Por lo tanto, la suposición $a^2+b^2=k^2$ es falso.