Problema: Para $(X_n)_{n \geq 1}$ i.yo.d. real RV con Var$(X_1)=1$ $E(X_1)=0$ $S_n$ que denota la suma parcial de la RVs tenemos $$\lim_{n \to \infty} E(|S_n|)=\infty $$
Mi Enfoque: me las he arreglado para mostrar, gracias al teorema del límite central, que $\exists p >0$ tal que para lo suficientemente grande como $n \in \mathbb{N}$ ( $n \geq n_0$ ) tenemos \begin{align}P (|S_n| \geq \sqrt{n}) \geq p>0, \ \forall n \geq n_0 \tag{*} \end{align}
Quiero usar * para concluir la instrucción. Mi idea era ahora el uso que de positivo RV $X$ tenemos $$E(X)= \int_0^\infty P(X \geq x) dx $$ Sin embargo estoy teniendo problemas para conectar esto con mi resultado (*) porque evidentemente tenemos $P(|S_n| \geq \sqrt{n}) \geq P(|S_n| \geq n)$
Puedo escribir $$E(|S_n|) = \int_0^\infty P (|S_n| \geq x ) dx = \sum_{i=1}^\infty \int_{i-1}^i P(|S_n| \geq x)dx \\ \geq \sum_{i=1}^\infty \int_{i-1}^i P(|S_n| \geq i) dx = \sum_{i=1}^\infty P(|S_n| \geq i ) $$ Supongo que estoy en el camino equivocado. Tal vez alguien podría proporcionarme una sugerencia para meterme en la dirección correcta utilizando de nuevo (*) para concluir el enunciado del problema.
