Métrica de la asignación a conjuntos distintos de $\Bbb{R}$

Question

Un espacio métrico es un conjunto de M junto con una función de $d:M \times M \rightarrow \Bbb{R} $ donde $d$ satisface:

• $d(x,y)\ge 0$
• $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,z) \le d(x,y)+ d(y,z)$

$\forall x,y,z \in M.$

Ingenuamente parece que $\Bbb{R}$ tiene demasiada estructura de lo que se requiere de ella para satisfacer estos axiomas y $d$ mapa a cualquier ordenó anillo.

Así que mi pregunta es ¿por qué es $\Bbb{R}$ elegido y no una más general anillo? Ha habido alguna investigación sobre las métricas que se asignan a los conjuntos distintos de $\Bbb{R}$?

He buscado en Google y no encontré nada útil. Mi pregunta título parece similar a este uno , pero después de leer la pregunta completa el texto creo que ellos se están haciendo cosas diferentes.

Answer 1

No parece haber una única forma en la que la generalización tiene sentido: mediante la adición de los infinitos, es decir, $x\in R$ con

$$\forall n\in\Bbb N:\underbrace{1+\cdots+1}_n<|x|,$$

o infinitesimals, es decir, $x\in R-\{0\}$ con

$$\forall n\in\Bbb N:\underbrace{|x+\cdots+x|}_n<1.$$

Para ordenó anillos con tales elementos no convencionales tenemos algunos interesantes no-métrico estándar espacios. Vamos a por ejemplo, $R=\Bbb R^*$ un conjunto de hyperreals. Ahora los puntos en el espacio métrico puede ser infinitamente lejos, o infinitamente cerca juntos en algún sentido preciso. Especialmente $\Bbb R^*$ es un espacio métrico que no se puede dar una costumbre métrica (excepto cuando se autorice la $\infty$ a distancia).

• Leer más aquí: espacios topológicos Que admitir que no estándar métrica?

Sin embargo, cuando explícitamente quieren evitar infinitos/infinitesimals, entonces su generalización es simplemente una restricción. Como resultado, cualquier linerly ordenó anillo sin elemento estándar es sólo un sub-anillo de $\Bbb R$. Así que lo que se construye de esta manera puede ser considerado también un habitual de espacio métrico con la métrica $d:X\times X\to\Bbb R$.

Y tenga en cuenta que los axiomas de la métrica espacios no incluso el uso de la multiplicación. Por lo tanto, es suficiente para pedir métricas $d:X\times X\to G$ totalmente ordenado (abelian) grupo $G$. Aún así, esto es sólo más general, cuando permitimos que los infinitos/infinitesimals. De lo contrario, estamos isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de) $\Bbb R$ por el mismo argumento como para los anillos.