Integrar a $\int_0^\pi{{x\sin x}\over{1+\cos^2x}}dx$.

Question

Integrar a $\displaystyle \int \limits_0^\pi{{x\sin x}\over{1+\cos^2x}}dx$. Traté de sustituir $t=\cos x$, y luego integrar con la integración por partes. Lo tengo todo desordenado... Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Integración por partes es vale la pena intentarlo: $$ \begin{align} \int_0^\pi\frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)}\,\mathrm{d}x &=-\int_0^\pi\frac{x}{1+\cos^2(x)}\,\mathrm{d}\cos(x)\\ &=-\int_0^\pi x\,\mathrm{d}\arctan(\cos(x))\\ &=-\pi\left(-\frac\pi4\right)+\int_0^\pi\arctan(\cos(x))\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi^2}{4}+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\arctan(\sin(x))\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi^2}{4} \end{align} $$ Desde $\cos(x)=\sin(\pi/2-x)$ y, a continuación, $\arctan(\sin(x))$ es una función impar.

Answer 2

Vamos

$I =\displaystyle \int \limits_0^\pi{{x\sin x}\over{1+\cos^2x}}dx$.

Sustituto $t=\pi - x$.

Tenga en cuenta que el pecado($\pi - x$) = sin ($x$) y cos($\pi - x$) = -cos($x$).

Usted notará que;

$I = \text{"something to integrate using your original substitution"} - I$

Answer 3

Si utiliza esta sustitución $u=x-\frac{\pi}{2}$, es mucho más fácil obtener la respuesta. De hecho \begin{eqnarray*} \int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx&=&\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{(u+\frac{\pi}{2})\cos u}{1+\sin^2u}dx\\ &=&\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{u\cos u}{1+\sin^2u}du+\frac{\pi}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos u}{1+\sin^2u}du\\ &=&\frac{\pi}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{d\sin u}{1+\sin^2u}\\ &=&\frac{\pi}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{d\sin u}{1+\sin^2u}\\ &=&\frac{\pi}{2}\arctan(\sin u)\big|_{-\pi/2}^{\pi/2}\\ &=&\frac{\pi^2}{4}. \end{eqnarray*} Aquí utilizamos los hechos que, si $f(u)$ es una función impar en $(-a,a)$, luego $$ \int_{-a}^af(u)du=0. $$ Claramente $\frac{u\cos u}{1+\sin^2u}$ es una función impar.

Answer 4

Sugerencia: $\int_0^af(x)dx=\int_0^af(a-x)dx$ Usar esto para simplificar y, a continuación, hacer lo que estaban tratando.

Editar: ohad le preguntó por qué $\int_0^af(x)dx=\int_0^af(a-x)dx$ es cierto. Esto se desprende de hacer la sustitución de $t=a-x$, por Lo tanto, $\int_0^af(x)dx=-\int_a^0f(a-t)dt=\int_0^af(a-x)dx$. Se puede ver también que geométricamente, tomando la misma área bajo la curva y a partir de un lugar de 0.

Answer 5

Ohad, en realidad se puede demostrar. Queremos demostrar a $$\int_{0}^{a} f(x) \ dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \ dx$$

Para ello, haga lo siguiente:

• Poner $t= a-x$. Entonces usted realmente tiene $dx= -dt$.

• Su nuevo integrante, a continuación, vuelve $\displaystyle\int_{a}^{0} -f(a-t) \ dt$