Este operador lineal no tiene autovalores

Question

Deje $T : L^2(\mathbb R) \to L^2(\mathbb R)$ ser un operador lineal definido por $$(Tf)(x)=f(x+1).$$ Mostrar que $T$ no tiene valores propios, es decir, no existe $f \not= 0$ $L^2(\mathbb R)$ tal que $(Tf)(x)=\lambda f(x)$ cualquier $\lambda \in \mathbb C$.

Mi trabajo:

Bueno, entonces el $\lambda=0$ caso fue sencillo para mí: Si $\lambda=0$,$Tf(x)=0$, lo que significa que $f(x)=0$ porque $T(0)=0$ desde $T$ es lineal.

Pero estoy atascado en el caso de $\lambda \in \mathbb C \setminus \{0\}$. ¿Cómo puedo trabajar con $f(x+1)=\lambda f(x)$ y muestran que $f(x)=0$?

Answer 1

Si $Tf = \lambda f$ para algunos vector unitario $f\in L^2$, $\|Tf\|=\|f\|$ implica $|\lambda|=1$. Por lo tanto, $$ f(x+n)=\lambda^n f(x),\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ Pero eso es un problema porque significa que $$ \int_{k}^{k+1}|f(x)|^2dx = \int_{l}^{l+1}|f(x)|^2dx,\;\;\; k,l=1,2,3,\cdots. $$ Es un problema porque tal $f$ no pudo ser en $L^2$ si $f=0$, lo que contradice la suposición de que $\|f\|=1$. Por lo $T$ no tiene autovalores.