Cómo demostrar que la inversa de la matriz es el elemento más sabio, más grande que la otra

Question

Supongamos que tenemos dos matrices $A$ $B$ (ambos tienen el tamaño de $n\times n$), donde ambos se $A$ $B$ es positiva definida.

Queremos determinar si cada elemento de a $A^{-1}$ es mayor que el correspondiente elemento de $B^{-1}$. Sin embargo, no podemos calcular directamente $A^{-1}$$B^{-1}$.

Por supuesto, el resultado de la comparación dependerá de las formas específicas de $A$$B$. Pero quiero saber si uno puede decir si $A^{-1}$ es el elemento sabio mayor que $B^{-1}$ simplemente observando $A$$B$. O en otras palabras, ¿qué propiedades debe $A$ $B$ que $A^{-1}$ es el elemento sabio mayor que $B^{-1}$?

Answer 1

La mejor que se me ocurrió es la siguiente.

Con la conocida representación de la inversa de la matriz en términos de la adjungate de la matriz, nos encontramos con que

\begin{align} &&(A^{-1})_{ij} &> (B^{-1})_{ij} \\ \Longleftrightarrow \qquad &&\frac1{\det(A)}(\def\adj{\mathrm{adj}}\adj(A))_{ij} &>\frac1{\det(B)}(\adj(B))_{ij} \\ \Longleftrightarrow \qquad &&(-1)^{i+j}\frac{\det(A^{(ji)})}{\det(A)} &> (-1)^{i+j}\frac{\det(B^{(ji)})}{\det(B)} \end{align}

donde $M^{(ij)}$ denota la matriz $M$ después de la eliminación de la fila $i$ y la columna $j$. Por lo $A^{-1}$ es un componente sabio mayor que $B^{-1}$ si y sólo si para todos los $i,j=1,...,n$

$$\frac{\det(A^{(ij)})}{\det(A)} \;\begin{matrix}\color{red}>\\\color{blue}<\end{matrix}\; \frac{\det(B^{(ij)})}{\det(B)}\qquad\text{if $i+j$ is}\; \begin{matrix}\color{red}{\text{even}}\\\color{blue}{\text{odd}}\end{matrix}.$$

Si este es un criterio útil para usted dependerá de la fuente de sus matrices $A$$B$.