¿La fuerza es un vector contravariante o un vector covariante (o ambos)?

Question

No entiendo si algo físico, como la velocidad por ejemplo, tiene una única clasificación correcta como vector contravariante o covariante. He visto textos que indican que los desplazamientos son vectores contravariantes y los gradientes de los campos escalares son vectores covariantes, pero en Guía del estudiante sobre vectores y tensores de Fleisch encontré esta declaración:

[No es el vector en sí mismo el que es contravariante o covariante, es el conjunto de componentes que se forma a través de su proyección paralela o perpendiculares. (p.121)

Si los conceptos físicos pueden representarse como cualquier tipo de objeto matemático, no entiendo cómo un desplazamiento podría representarse como un covector. ¿Sus componentes no se transformarían de forma incorrecta si se cambian las coordenadas?

Si la covarianza/contravarianza forma parte de la definición de un concepto físico, no entiendo cómo se clasifica la fuerza. El gradiente de un potencial tendría dimensiones de longitud en el denominador, lo que lo convierte en un vector covariante. La masa por la aceleración tiene dimensiones de longitud en el numerador, lo que la hace contravariante.

Editar: He leído la respuesta aceptada a Las fuerzas como formas únicas y el magnetismo . Una cosa que no entiendo es si en el espaciotiempo relativista cualquier cantidad vectorial puede representarse también como una forma 1 (porque hay una métrica) o si su clasificación como forma 1 o vector depende de cómo cambien sus componentes bajo una transformación de coordenadas. ¿Un desplazamiento no tiene que ser un vector y no una forma 1?

Answer 1

Entiendo que la fuerza es una forma 1, a través del siguiente razonamiento. Dado un lagrangiano conservador e independiente del tiempo $L$ su diferencial (una 1 forma en el sentido más puro) es $$ \mathrm{d}L = p_a ~\mathrm{d}\dot{x}^a + f_a~\mathrm{d} x^a $$ donde $$ p_a = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^a},~f_a = \frac{\partial L}{\partial x^a}. $$ Así que los componentes de esta 1 forma son la fuerza y el momento. El momento y la fuerza se interpretan como componentes de un covector por esta razón. No debería sorprender que sean del mismo tipo, dada su relación a partir de la segunda ley de Newton. También me parece natural que el momento sea una forma 1, dada su naturaleza "dual" con la posición.

Ahora, para abordar su edición. Dada una métrica, cualquier vector puede escribirse como una forma 1. Dado que el colector en el que estás es afín se pueden escribir los desplazamientos como vectores. Sin embargo, nadie escribe las 1-formas de desplazamiento. Parece que piensas que esto está en desacuerdo con el hecho de que los componentes de las formas 1 se transforman "covariantemente" y los de los vectores "contravariantemente". Una vez que usas la métrica para "bajar el índice", un vector se transformará como una 1-forma. Digamos que pasamos de las coordenadas $x\rightarrow y$ . La métrica se transforma en $$ g'_{ab} = \frac{\partial x^c}{\partial y^a}\frac{\partial x^d}{\partial y^b} g_{cd}, $$ y un vector $v$ se transformará como $$ v'^a = \frac{\partial y^a}{\partial x^b} v^b. $$ Uniendo estas afirmaciones, vemos que $v$ con el índice rebajado se transforma como debería hacerlo una forma 1: $$ v'_a = g'_{ab}v'^b = \frac{\partial x^c}{\partial y^a}\frac{\partial x^d}{\partial y^b} g_{cd} \frac{\partial y^b}{\partial x^e} v^e = \frac{\partial x^c}{\partial y^a} \delta_{de} g_{cd} v^e = \frac{\partial x^c}{\partial y^a} g_{cd} v^d = \frac{\partial x^c}{\partial y^a} v_c. $$

Answer 2

Tengo una respuesta aquí describiendo el concepto general de los verdaderos vectores y tensores físicos que podrían ser útiles. (También podrían ser cosas que ya conoces muy bien).

Esto resultó ser superlargo, espero que no te mueras de viejo antes de terminar de leer. Al menos he añadido algunos títulos útiles de las secciones para que puedas saltarte algunas partes. La conclusión es que es mucho más plausible que la fuerza sea un covector (es covariante de componentes).

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¿Vector o componentes de la co(ntra)variante?

Por lo tanto, necesitamos que las ecuaciones de la física matemática sean verdaderas, lo que significa que lo son, efectivamente, invariante . Lo conseguimos postulando objetos como $\vec{v}$ o $\vec{a}$ . Tenemos entonces ecuaciones de este tipo: $$\vec{F} = m \vec{a} $$ Éstas son expresables con palabras y hablan de objetos que son "reales", por lo que la noción de que varían con una descripción es realmente absurda. Pero, ¿cómo obtenemos hipótesis cuantitativas para probarlas? Postulamos que tienen ciertas relaciones con otros objetos que nos permiten obtener un cierto conjunto de números que caracterizan completamente dicho objeto. Este conjunto de números son los componentes y se pueden resumir mediante la siguiente relación (convención de suma de Einstein incluida): $$\vec{v} = v^{\,i} \vec{e}_i$$ Es decir, los componentes sólo dan los coeficientes de una suma de objetos del mismo tipo. No pasamos el velo de este misterioso objeto flechado. Nunca. Conceptos como la dirección o la velocidad no pueden reducirse completamente a las componentes y siempre existe este "núcleo" de la física. Los vectores son vectores y nada más. Sin embargo, podemos elegir un conjunto diferente de objetos centrales $\vec{e}'_j$ . Desde $\vec{v}$ es realmente invariante, tenemos $$v'^j \vec{e}'_j = \vec{v} = v^i \vec{e}_i$$ A partir de los argumentos esbozados en la respuesta enlazada en la parte superior de este post, podemos deducir los coeficientes de la relación $\vec{e}_i = (e_i)^j \vec{e}'_j$ . No obstante, al aplicarlo a la ecuación anterior obtenemos $$v'^j = (e_i)^j v^i$$ $$\vec{e}_i = (e_i)^j \vec{e}'_j$$ Donde pongo la relación "núcleo" una segunda vez para entender el hecho de que los componentes de la transformación vectorial exactamente opuestos a los componentes de la base . Este es también el significado de la palabra "contravarianza" de los componentes del vector. Se transforman en contrarrestar la varianza de la base, por lo que en su conjunto el vector permanecerá invariante. (Cuando cualquier conjunto de objetos se transforman igual que la base, covarian, por lo que son covariantes).

Obsérvese que Fleisch se limita a exponer lo recién descrito. El objeto es invariante, los componentes se transforman. No está diciendo que se pueda obtener tanto covariante como contravariante, sólo se obtiene una. (A continuación, puede utilizar un truco con la métrica para cambiar la naturaleza, pero el objeto resultante no es "el original". Esto también se refiere a su edición relativa a la relatividad).

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Una nota sobre el "vector de desplazamiento"

El "vector de desplazamiento" sólo tiene sus componentes que se transforman casualmente en las de un vector en el caso de las coordenadas cartesianas (y del espacio plano) y sólo cuando el desplazamiento se toma desde el origen. Prueba a mover el origen o a cambiar a coordenadas polares o a cualquier otro sistema de coordenadas curvilíneas. Sus componentes se transformarán de forma muy diferente a la de la velocidad, por ejemplo.

Es bueno recordar que para un "verdadero vector" en el sentido de las transformaciones de componentes siempre tiene que haber algo más de "diferencial" que de "diferencia".

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Entonces, ¿los componentes de la fuerza son contravariantes o qué?

Como se indica, por ejemplo, en la respuesta enlazada en la parte superior de este post, el vector "contravariante" de referencia definitivo es la velocidad y su segunda derivada, la aceleración. En la física clásica queremos definitivamente la ecuación ya mencionada $\vec{F} = m \vec{a} $ para sostener.

Por lo tanto, parece sencillo decir que $\vec{F}$ debe sea un vector con componentes contravariantes porque la ecuación debe ser invariante (contravariante en componentes) y el lado derecho es un vector. ¿Pero lo es?

Hay dos convenios. La primera dice $m$ es sólo un número, por lo que $\vec{F}$ debe ser un vector. Pero puedes ver en la respuesta de Zach McDargh y en otros comentarios que puede ser una convención bastante limpia hacer que la fuerza sea realmente un covector. De lo contrario, como observas correctamente, tendríamos que utilizar el truco ya mencionado con la métrica para elevar los índices del gradiente que determina la fuerza y otros trastos innecesarios. Voy a dar un argumento rápido de mayor elegancia dilucidando la ley de Newton con la llamada matriz de masa .

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La matriz de masa

Considere la energía cinética, se ve así $$T = \frac{1}{2} m v^2$$ Pero el $v^2$ en realidad significa $\vec{v}\cdot\vec{v}$ . Sin embargo, cuando construimos la mecánica clásica y pasamos a la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, descubrimos La energía cinética es el único lugar donde el producto punto entra necesariamente en la construcción . No lo necesitamos en ningún otro sitio, y dondequiera que esté, también hay $m$ y viceversa .

La otra cosa curiosa es que con múltiples partículas restringidas y con diferentes masas es práctico describirlas todas con un único conjunto de coordenadas $\mathbf{q} =(q_1,\dots q_N)$ . En lugar de escribir cada término de energía cinética, es práctico expresar la suma total mediante $$T = \sum T_{\dots} = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{M} \dot{\mathbf{q}}$$ con $\mathbf{M}$ la "matriz de masa" que es una mezcla de las métricas de las diferentes partículas por sus masas, la $1/2$ es convencional, y el punto sobre las posiciones significa la derivada del tiempo.

Así que incluso si nos quedamos con una sola partícula, parece natural definir la "matriz de masa" como $M_{ij} = m g_{ij}$ con $g_{ij}$ la métrica ( $\delta_{ij}$ para el producto punto en coordenadas cartesianas en el espacio plano). Si insistimos en el hecho de que la métrica o la masa nunca aparecen en las ecuaciones dinámicas por separado, reducimos un elemento de nuestra teoría sin cambiar su física. La navaja de Occam ¡! ¡Es más sencillo, así que hay que hacerlo! (Hasta que queramos medir ángulos y distancias en un contexto no dinámico...)

Así, la matriz de masa tiene dos índices inferiores y es doblemente covariante, igual que la métrica. Si entonces la contraemos con un vector en un índice obtenemos, por ejemplo $$p_i = M_{ij} v^j$$ El momento es, pues, un covector cuyas componentes se transforman covariantemente. Ahora es obvio que tenemos $$\vec{F}=m\vec{a} \to F_j = M_{ij} a^i$$ O incluso mejor para sistemas con masa variable $$F_j = \frac{d}{dt}p_j$$

Así que no hay ningún problema con la ecuación de Newton y su covarianza. Según este argumento, es mucho más natural definir la fuerza como un covector.

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Una nota de feinschmecker: Se podría argumentar que el concepto de matriz de masa no es necesario para todo el argumento. Pero estoy asumiendo que no somos Landau, y que queremos encontrar una forma elegante de la ley de Newton sin una métrica colocada arbitrariamente en lugar de "derivar" la ley de Newton de la mecánica lagrangiana.

Answer 3

Hay dos tipos de situaciones matemáticas que consideran vectores y covectores. Son las siguientes:

1. En el espacio sin producto escalar (producto punto) son entidades muy diferentes y nunca hay que confundirlas.
2. En el espacio con producto escalar son la misma cosa vista desde dos perspectivas. Uno puede convertir libremente una entidad en otra con el tensor métrico, tenga o no sentido.

Ahora bien, cuando hablamos de física, nos encontramos con muchas teorías diferentes con espacios diferentes, algunas tienen producto escalar dado y otras no. Por ejemplo, la $(x,y,z)$ espacio de la mecánica newtoniana se da el producto punto euclidiano, y el $(P,V)$ espacio de estados de alguna cantidad de gas no se da ninguna. Fuerza sólo aparece en todos los tipos de mecánica, ya sea la newtoniana, la lagrangiana, la SR, la GR, la mecánica cuántica, la mecánica de las cuasipartículas en los sólidos, etc. Y esta es mi humilde observación:

La definición natural de fuerza se utiliza sólo en aquellas teorías mecánicas en las que los espacios son producto punto. Se trata de la mecánica newtoniana, la SR, la GR, la newtoniana con restricciones, algunos casos de la mecánica cuántica y similares. En esos casos, se puede pensar libremente que la fuerza es un vector o un covector.

Y en las teorías sin algún producto punto implícito, el concepto de fuerza se utiliza en algún sentido abstracto extendido (si es que se utiliza). Tales teorías incluyen la mecánica lagangiana y hamiltoniana, los casos más generales de la mecánica cuántica, la mecánica de cuasipartículas y similares. En esos casos, se indica explícitamente qué hace el término fuerza y a menudo la noción de fuerza no se utiliza en absoluto. Entonces sólo se siguen las definiciones de un libro particular, y no se piensa en estas fuerzas como en las fuerzas habituales de la vida cotidiana. [Normalmente se piensa en la fuerza como un covector, y la aceleración se conecta a ella con una masa tensorial, $f_a=m_{ab}w^b$ .]

Answer 4

No estoy en desacuerdo con otras respuestas (más antiguas). Pero parece que ignoran la razón más obvia/convincente por la que la fuerza se representa como un covector: en mecánica analítica, el campo de fuerza se deriva como el gradiente espacial de una energía potencial escalar, $F_i=-\partial V / \partial x^i$ . Y el gradiente de un escalar es un covector (también conocido como diferencial de la función $V$ ).

Ahora, en el caso de que la fuerza sea no derivada de un gradiente de energía (como la fuerza de pinchar una bola de billar con un taco o de arrastrar un ladrillo por una cuerda), entonces no está nada claro que se beneficie de la representación covectorial. Pero entonces tampoco estarías trabajando en una variedad en la que la invariancia de los tensores bajo transformaciones de coordenadas sea útil, de todos modos.

En resumen, representamos la fuerza como un covector en muchas aplicaciones de la física (mecánica orbital, E&M, SR, GR, QM) porque la "fuerza" es un gradiente espacial de una energía escalar. Esto también es válido para aplicaciones no mecánicas, como el covector del número de onda de una onda viajera, $\exp[i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)]$ donde $k_i=\partial\phi/\partial x^i$ es el gradiente de la función escalar de fase $\phi(\mathbf{x})$ . Véase, por ejemplo aquí .

Answer 5

Yo diría que una fuerza es un vector contravariante. Consideremos una roca que cae a lo largo de la gravedad de la Tierra. El potencial gravitatorio mgz es horizontal y su diferencial es una forma 1 cuyo núcleo es un plano horizontal.

Pero la roca cae verticalmente, que es una dirección favorecida fuera del núcleo de la forma 1. Una forma 1 no tiene tal noción de dirección favorecida fuera de su núcleo. Aquí es donde entra el producto escalar y define una dirección perpendicular para que la roca caiga.

Así que o estás de acuerdo en que la forma 1 pide al producto escalar una dirección perpendicular cada vez que pone un cuerpo en movimiento, o que la fuerza ya es un vector contravariante, con una dirección de movimiento definida.