Probabilidad de sacar el mismo color de mármol, dos veces en una bolsa de $10$ rojo, $10$ naranja, $10$ verde.

Question

La pregunta está formulada de la siguiente manera.

Una bolsa de canicas contiene $10$ canicas rojas, $10$ naranja canicas, y $10$ mármoles verdes. Usted tomar al azar una canica de la bolsa para sí mismo, y sin el reemplazo de usted, a continuación, de forma aleatoria tome otra canica de la bolsa para dar a su compañero de cuarto. ¿Cuál es la probabilidad de que su compañero de cuarto tiene el mismo color de mármol como haces?"

La respuesta dice que es $10/30 \times 9/29 = 0.103$. Entiendo que esta pregunta es la prueba de su comprensión de la "dependiente de los eventos", donde la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad de que otro evento en la secuencia.

Lo que no entiendo es por qué no, simplemente,$9/29$. Voy a explicar mi pensamiento, y esperemos que alguien puede apuntar a donde estoy equivocado.

En el primer sorteo, hay $30$ total posible de canicas que puede ser igualada por la de su compañero de cuarto. Dibujar $1$: P{dibujo de un apareamiento de mármol} = $30/30$ En el segundo sorteo, hay $9$ canicas del mismo color del resto de los 29. Dibujar $2$: P{dibujo del mismo color} = $9/29$.

$$30/30 \times 9/29 = 9/29. $$

A mí me parece que la respuesta a este problema coincide con la pregunta: "¿cuál es la probabilidad de que ambas sacar una canica verde?" Sin embargo, mi profesor me dijo que no era el caso, y que la respuesta es correcta.

Alguien me puede ayudar? Gracias :)

EDITAR Resulta que el problema era incorrecta, la respuesta en realidad es 9/29! Gracias chicos por su ayuda :)

Answer 1

Bien, vamos a hacer lo siguiente:

En primer lugar, fijar un color. Esto se hace en una de tres maneras.

Entonces, ahora vamos a calcular la probabilidad de que ambos, usted y su amigo elegir el color de la bola de la bolsa.

Para usted, que la probabilidad es $\frac {10}{30}=\frac 13$, y para su amigo, el es $\frac 9{29}$. Así que la respuesta es $3 * \frac{1}{3} * \frac {9}{29} = \frac{9}{29}$, que es, a su respuesta.

Así que estás en lo correcto. Me parece honestamente atroz (aunque todo el mundo tiene derecho a equivocarse) para ver que, después de numerosas revisiones, estos errores están presentes en los libros de texto. Es elemental de la probabilidad, por lo que si usted hubiera creído tanto en el libro y su profesor, que se han ido por el camino equivocado. Así que, debo decir, fue bueno que hizo esta pregunta.

EDIT: Como ya lo habrán notado, el libro de texto de la respuesta habría sido correcta si se había fijado en el color de la bola antes de dibujo. Pero luego, eso no es excusa para un terrible error.

Answer 2

Si tu profesor no cree, tal vez usted puede tratar de una simulación. Esto no prueba que tienes razón, pero es ilustrativo. El siguiente código de trabajo en R, pero se podría hacer algo similar con otros idiomas

# Make a vector showing the colors of marbles
color=rep(c(1,2,3), each=10)

# Decide how many times your want to draw out two marbles
nSamples = 10000
# Make a vector to hold the results
Match = rep(NA, nSamples)

# Draw out two marbles without replacement nSamples times
for(i in 1:nSamples){
  sampleTemp = sample(color, 2, replace=FALSE)
  Match[i] = sampleTemp[1] == sampleTemp[2]
}

# Check the fraction of samples in which the colors match
sum(Match)/nSamples

Que no está ni cerca (10/30)*(9/29), pero casi siempre muy cerca de 9/29.