¿Utilizamos siempre el axioma de elección cuando elegimos entre un número incontable de conjuntos?

Question

Sé que hay un número incontable de clases de equivalencia definidas por la relación definida aquí: Clases de equivalencia de " $x \sim y \Longleftrightarrow x -y $ es racional". (la relación se define en el conjunto $[0,1)$ )

Cada una de estas clases de equivalencia contiene un número contable de elementos.

Este libro de texto dice que necesitamos el axioma de elección para elegir un elemento de cada clase de equivalencia. ¿Por qué? ¿Es porque siempre necesitamos el axioma de elección cuando elegimos un elemento de un número incontable de conjuntos?

Answer 1

No, es porque no hay manera de especificar simultáneamente un elemento particular de cada clase. Si dejo que $X=\Bbb R\times\Bbb R$ y para cada $r\in\Bbb R$ dejar $A_r=\{r\}\times\Bbb R$ Puedo elegir fácilmente un elemento de cada $A_r$ aunque cada uno de ellos $A_r$ es incontable: por ejemplo, de $A_r$ Puedo elegir el elemento $\langle r,0\rangle$ . Tengo una receta para especificar un elemento concreto. De hecho, tengo muchas recetas de este tipo: podría elegir también $\langle r,r\rangle$ como representante de $A_r$ .

En la otra dirección, hay modelos de la teoría de conjuntos que muestran que uno podría necesitar el axioma de elección para escoger un representante de cada miembro de una familia de dos -conjuntos de elementos. En resumen, la cardinalidad de los conjuntos individuales no es el problema.

Answer 2

Brian M. Scott ha dado un magnífico repaso a la teoría general, pero para entrar en detalles sobre la construcción particular que te interesa, sabemos que necesitamos algún principio de elección bastante fuerte debido a El célebre resultado de Robert Solovay :

Teorema: Asumiendo la consistencia de alguna hipótesis cardinal grande, la teoría $ZF + DC + \text{all sets of reals are Lebesgue measurable}$ es consistente.

Lo que esto significa es que la construcción de un conjunto de Vitali (o de cualquier conjunto no medible) no puede llevarse a cabo en general sin asumir un principio de elección más fuerte que Elección de la persona dependiente .

Answer 3

El axioma de elección es necesario cuando no hay uniforme elección de los conjuntos que desee.

Dado cualquier conjunto no vacío $A$ , $2^A$ es un producto del conjunto $\{0,1\}$ sobre el conjunto de índices $A$ . Este producto nunca está vacío, siempre podemos insistir en elegir $0$ .

Otro ejemplo es cuando $A$ puede estar bien ordenado, siempre podemos elegir entre familias de subconjuntos de $A$ . ¿Cómo? Basta con fijar una orden de pozo de $A$ , entonces todo conjunto no vacío tiene un elemento mínimo y esa es nuestra elección uniforme. Así que la elección uniforme significa que podemos formular más o menos lo que sería la elección de cada conjunto (hay algo de delicadeza aquí todavía).

Entonces, ¿qué pasa con $\Bbb{R/Q}$ ? Bueno, resulta que no tenemos una elección uniforme de estos conjuntos, y en cierto modo tiene sentido. Todas las clases de equivalencia son subconjuntos densos de $\Bbb R$ y no tenemos demasiada información sobre ellos más allá de eso. Pero esto no es una prueba de que no podemos hacer esta elección, es sólo un razonamiento.

La prueba de que no podemos hacer este tipo de elección viene del hecho de que hay modelos de la teoría de conjuntos en los que el axioma de elección falla, y todo conjunto de números reales es medible por Lebesgue. En tal modelo, ciertamente no hay ningún conjunto de Vitali -es decir, un sistema de representantes para $\Bbb{R/Q}$ - y por lo tanto no hay ninguna función de elección de $\Bbb{R/Q}$ .

De hecho, para hacer las cosas más raras, permítanme darles el grado de necesidad del axioma de elección. Es posible tener un universo de la teoría de conjuntos, donde hay un contable conjunto de pares, pero no podemos elegir entre cada par. Esto se debe a que no tenemos una manera uniforme de emparejarlos con $\{0,1\}$ .

Answer 4

El axioma de elección dice exactamente que cualquier producto de conjuntos no vacíos es no vacío.

Dejemos que $\rm I$ sea el conjunto de clases de equivalencia de su relación y $(\mathrm C_i)_{i \in \rm I}$ las clases de equivalencia, entonces estás diciendo exactamente que existe un elemento en $$ \prod_{i\in \mathrm I} \mathrm C_i$$