Como usted mismo dice, cada conexión en un paquete es localmente dado por a 1-forma valorada en álgebra de Lie y, en general, sólo localmente.
Digámoslo con más detalle: para $X$ cualquier múltiple, a $G$ -la conexión principal en él es (en " Datos de Cech "):
-
una selección de buena tapa abierta $\{U_i \to X\}$ ;
-
en cada parche una 1-forma $A_i \in \Omega^1(U_i)\otimes \mathfrak{g}$ ;
-
en cada doble intersección de parches una función de transformación gauge $g_{i j} \in C^\infty(U_i \cap U_j, G)$
tal que
-
en cada intersección doble $U_i \cap U_j$ tenemos la ecuación $A_j = g_{i j}^{-1} A g_{i j} + g_{i j}^{-1} \mathbf{d} g_{i j}$
-
en cada triple intersección $U_i \cap U_j \cap U_k$ tenemos la ecuación $g_{i j} g_{j k} = g_{i k}$ .
Bien, ahora te gustaría formar una 3ª forma de Chern-Simons... algo a partir de esto. Lo que se obtiene inmediatamente de los datos anteriores es un montón de 3 formas diferenciales locales, una en cada parche: $CS(A_i) \in \Omega^3(U_i)$ .
Para que estas 3 formas se peguen globalmente a lo que se llama un Conexión de 3 formas necesitamos los datos evidentes de transformación gauge superior
-
en cada parche tenemos la forma 3 local $CS(A_i)$ ;
-
en cada doble intersección debe haber una 2-forma $B_{i j} \in \Omega^2(U_i \cap U_j)$ que transforma las respectivas formas CS-3 entre sí, mediante $CS(A_j) = CS(A_i) + \mathbf{d} B_{i j}$ ;
-
en cada triple intersección debe haber una 1-forma $\alpha_{i j k} \in \Omega^1(U_i \cap U_j \cap U_k)$ que presenta una transformación gauge de segundo orden (" fantasmas de fantasmas ") entre las trasformaciones gauge de primer orden, ya que $B_{i j} + B_{j k} = B_{i k} + \mathbf{d} \alpha_{ i j k}$
-
finalmente en cada intersección cuádruple debe haber una función suave $h_{i j k l} \in C^\infty(U_i \cap U_j \cap U_k \cap U_l, U(1))$ que transforma el gálibo de los gálibos entre sí, en que $\alpha_{i j k} + \alpha_{i k l} = \alpha_{j k l} + \alpha_{i j l} + h_{i j k l}^{-1}\mathbf{d}h_{i j k l}$ .
Esos son los datos que convierten a la 3ª forma de Chern-Simons local en un campo de 3ª forma globalmente bien definido. (Por ejemplo, la campo C de supergravedad es de esta forma, con algunos giros adicionales y campanas y silbatos añadidos, como hemos discutido aquí ).
En lenguaje matemático se dice que este tipo de datos de encolado local gauge-of-gauge-of-gauge para la definición global de campos de forma superior es un "cociclo de grado 4 en Cohomología de Cech-Deligne ". Esto es precisamente los datos correctos necesarios para tener una tridimensionalidad bien definida. holonomía superior como se necesita aquí para la definición, porque la acción funcional de Chern-Simons no es más que la holonomía superior tridimensional de esta conexión de 3 formas.
Si puedes construirlo, claro. A partir de lo anterior no es del todo obvio cómo construir los datos del cociclo de 3 formas $\{CS(A_i), B_{i j}, \alpha_{i j k}, h_{i j k}\}$ a partir de los datos del campo de medición $\{A_i, g_{i j}\}$ .
Pero esto se puede hacer. Esto es lo que Caracteres diferenciales de Cheeger-Simons fueron descubiertos. Una construcción explícita que es muy natural para la aplicación a la teoría de Chern-Simons la hemos dado en
- Fiorenza, Schreiber, Stasheff, Cociclos de Cech para clases características diferenciales , Advances in Theoretical and Mathematical Phyiscs, Volume 16 Issue 1 (2012) ( arXiv:1011.4735 , web )
Basándonos en esto damos una introducción detallada y una discusión de las funciones de acción de Chern-Simons para situaciones globales no triviales como la anterior en
- Fiorenza, Sati, Schreiber, Una perspectiva superior de la teoría de Chern-Simons ( arXiv:1301.2580 , web )
Ese artículo da las fórmulas locales que se aplican en general, discute las simplificaciones que se producen cuando el 3-manifold se puede suponer que es limitante, discute lo que sucede si no, y luego explora varias otras propiedades de la teoría de Chern-Simons definida globalmente, tales como la forma de acoplar las líneas de Wilson a la historia anterior. Si sólo echas un vistazo a la primera parte, creo que encontrarás lo que necesitas.
edit: En los comentarios de abajo surgió la pregunta de por qué una discusión similar no es también necesaria cuando se escribe la acción funcional de Yang-Mills, cuyo Lagrangiano es la 4-forma $\langle F_A \wedge \star F_A \rangle$ (donde $\star$ es la estrella de Hodge de una métrica dada (gravedad) y $\langle -,-\rangle$ es un polinomio invariante, la "forma de Killing" o traza), o de forma similar el funcional de acción topológico de Yang-Mills, cuyo Lagrangiano es la 4-forma $\langle F_A \wedge F_A \rangle$ .
La razón es que estos Lagrangianos se construyen a partir de curvaturas evaluado en un polinomio invariante . La propia invariancia de estos polinomios invariantes bajo la acción adjunta del grupo gauge sobre sus argumentos asegura que si $\{U_i \to X\}$ es una buena cubierta abierta del espacio(-tiempo) de 4 dimensiones y si el campo gauge viene dado por los datos del ciclo de Cech $\{A_i, g_{i j}\}$ con respecto a estos parches locales, que entonces en solapamientos dobles los dos Lagrangianos de Yang-Mills (topológicos o no) procedentes de dos parches ya son igual
$$ \langle F_{A_i} \wedge F_{A_i}\rangle = \langle F_{A_j}\wedge F_{A_j}\rangle \,. $$
Por lo tanto, si escribimos $\nabla = \{A_i, g_{i j}\}$ para la conexión de campo gauge de forma abstracta y denotamos la Lagrangiana (topológica) de Yang-Mills globalmente por $\langle F_\nabla \wedge F_\nabla\rangle$ entonces ya es una 4-forma definida globalmente. Matemáticamente, esta afirmación es el núcleo de Teoría de Chern-Weil .
Nótese que existe, sin embargo, una intrincada relación con la historia del funcional de Chern-Simons. A saber, la Forma de Chern-Simons $CS(A_i)$ tiene la propiedad especial (esencialmente por definición) de que su diferencial es el Lagrangiano topológico de Yang-Mills:
$$ \mathbf{d}CS(A_i) = \langle F_{A_i} \wedge F_{A_i}\rangle \,. $$
Esto significa que con el Lagrangiano de Chern-Simons considerado como un Conexión de 3 formas entonces el Lagrangiano topológico de Yang-Mills es su forma 4 de curvatura . Por tanto, la relación entre la forma 4 del lagrangiano topológico de Yang-Mills y la forma 3 de Chern-Simons es precisamente un análogo en la teoría gauge superior de la conocida relación dos grados inferior de cómo la forma 1 del potencial electromagnético -que no está definida globalmente en general- tiene una forma 2 de curvatura que está bien definida globalmente.
Matemáticamente, esta es la razón por la que las funciones de Chern-Simons se denominan " invariantes secundarias "
De hecho, esto es algo más que una simple analogía: la 3-forma de Chern-Simons es precisamente un análogo doblemente superior del campo electromagnético cuando pasamos del punto, a través de la cuerda, a la membrana .
Tengo algunos apuntes de clase con más información sobre este tema en nLab:cohomología suave retorcida en teoría de cuerdas .
