a) ¿existen polinomios $ p (x) $ satisfactorio $ p(\sin x) = \sin (2x) \quad\quad \forall x \in \mathbb{R} $ ?
b) Una extensión de este problema es:
1) Si $n$ es par, entonces no existe un polinomio $P$ satisfacción $P\left(\sin x\right)=\sin\left(nx\right)$ todos los $x\in\mathbb{R}$.
2) Si $n$ es impar, entonces existe un polinomio $P$ satisfacción $P\left(\sin x\right)=\sin\left(nx\right)$ todos los $x\in\mathbb{R}$.
3) existe un polinomio $P$ satisfacción $P\left(\cos x\right)=\cos\left(nx\right)$ todos los $x\in\mathbb{R}$
Donde $n \in \mathbb{N}$
La no-existencia en 1) (e) punto) podemos simplemente tenga en cuenta que $\sin x=\sin (\pi-x)$ y, por tanto, $P(\sin x)=P(\sin (\pi-x))$ pero $\sin(n(\pi-x))=-\sin nx$ incluso $n$. Contradicción.
Pero no puedo resolver el punto 2) y 3) se puede alguien me ayuda?
