Teorema: Dos finito-dimensional espacios vectoriales son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.
Puedo entender cómo probar que si son isomorfos, entonces tienen la misma dimensión. Sin embargo, en el otro sentido no puedo entender totalmente.
Para citar Axler del Álgebra Lineal Hecho a la Derecha, 2ª edición página 55:
Para probar la otra dirección, supongamos $V$ $W$ son finito-dimensional espacios vectoriales con la misma dimensión. Deje $(v_1,...,v_n)$ ser una base de $V$ $(w_1,...w_n)$ ser una base de $W$. Deje $T$ ser lineal mapa de $V$ $W$definido por $$T(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1w_1+...+a_nw_n \ (*)$$ Then $T$ is surjective because $(w_1,...,w_n)$ spans $W$, and $T$ is injective because $(w_1,...,w_n)$ is linearly independent. Because $T$ is injective and surjective, $T$ es invertible.
No puedo entender cómo en la tierra podemos definir la $T$ que satisfacen (*) anterior. No creo que Axler ha dado una prueba de que este puede ser definido. Podría alguien ayudarme en esto por favor?