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Incapaz de entender la prueba de dos isomorfo finito-dimensional espacios vectoriales tener la misma dimensión

Teorema: Dos finito-dimensional espacios vectoriales son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.

Puedo entender cómo probar que si son isomorfos, entonces tienen la misma dimensión. Sin embargo, en el otro sentido no puedo entender totalmente.

Para citar Axler del Álgebra Lineal Hecho a la Derecha, 2ª edición página 55:

Para probar la otra dirección, supongamos $V$ $W$ son finito-dimensional espacios vectoriales con la misma dimensión. Deje $(v_1,...,v_n)$ ser una base de $V$ $(w_1,...w_n)$ ser una base de $W$. Deje $T$ ser lineal mapa de $V$ $W$definido por $$T(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1w_1+...+a_nw_n \ (*)$$ Then $T$ is surjective because $(w_1,...,w_n)$ spans $W$, and $T$ is injective because $(w_1,...,w_n)$ is linearly independent. Because $T$ is injective and surjective, $T$ es invertible.

No puedo entender cómo en la tierra podemos definir la $T$ que satisfacen (*) anterior. No creo que Axler ha dado una prueba de que este puede ser definido. Podría alguien ayudarme en esto por favor?

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littleO Puntos 12894

También se puede decir que si $v \in V$, $T(v)$ se define como el vector $a_1 w_1 + \cdots + a_n w_n$ donde $(a_1,\ldots,a_n)$ es la única $n$-tupla de escalares tales que \begin{equation} v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n. \end{equation}

El punto clave es que no hay sólo una manera de escribir $v$ como una combinación lineal de los vectores $v_1,\ldots, v_n$. Los coeficientes en que la combinación lineal son únicos. Por tanto, y dado $v$, la salida de vectores $a_1 w_1 + \cdots + a_n w_n$ está perfectamente bien definidos.

4voto

muaddib Puntos 6459

Como se menciona en la definición siempre se puede elegir dos bases de los vectores espacios de $V, W$ respectivamente. A continuación, defina $T$ por $$T : v_i \mapsto w_i$$ y $T$ es lineal. Que da la relación en $(*)$.

3voto

nispio Puntos 137

Lineal en el mapa de $T:V\to W$ está totalmente determinado por la forma en que actúa sobre la base de $V$, debido a que cualquier $v \in V$ se puede expresar de forma única como combinación lineal de la base: $v = a_1v_1+\cdots+a_nv_n$.

Voy a tratar de explicar la construcción (Axler explica en las páginas 39-40).

En primer lugar, hemos de especificar cómo $T$ actúa sobre la base dejando $Tv_i=w_i$ todos los $i \in \{1,\dots, n\}$.

Entonces, porque queremos que el mapa sea lineal, se definen $T$ $$T(v)=T(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)= a_1w_1+\cdots+a_nw_n.$ $

Como @LittleO la respuesta explica, el hecho de que la representación de $v$ es único es lo que hace de este un bien definido mapa.

Para demostrar que este mapa es, en efecto lineal, vamos a $c$ ser una constante y deje$v=a_1v_1+\cdots+a_nv_b$ $u=b_1v_1+\cdots+b_nv_n$ ser vectores en $V$.

A continuación,\begin{align} T(v+u)&=T((a_1+b_1)v_1+\cdots+(a_n+b_n)v_n)\\ &=(a_1+b_1)w_1+\cdots+(a_n+b_n)w_n \\ &= (a_1w_1+\cdots+a_nw_n)+(b_1w_1+\cdots b_nw_n)\\ &= Tv+Tu\end {align}

Y \begin{align} T(cv)&=T(c(a_1v_1+\cdots a_nv_n))\\ &=T((ca_1)v_a+\cdots +(ca_n)v_n)\\ &=(ca_1)w_1+\cdots + (ca_n)w_n\\ &=c(a_1w_1+\cdots a_nw_n)\\ &=cTv \end{align}

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Bernard Puntos 34415

Usted debe entender que un lineal mapa de un espacio vectorial $V$, con base $\mathcal B$ , a otro espacio vectorial $W$ es totalmente caracteriza por la imagen en $W$ de los vectores de $\mathcal B$. Si la base es finito y tiene $n$ vectores (es decir, si $\dim V=n$), esto puede ser escrito como $$L(V,W)\simeq W^n.$$ Esta es la razón por la que, para finito dimensionales espacios vectoriales, una vez que las bases han sido elegidos en $V$$W$, podemos identificar lineal mapas con matrices.

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lowglider Puntos 562

En los comentarios, escribe:

Que todavía me intriga realmente. Estoy pensando en la fórmula explícita para el mapeo Lineal. ¿Cómo puede una fórmula se puede definir cualquier elemento de un espacio vectorial puede ser asignado a otro arbitrario en el espacio de destino?

La fórmula $(*)$ usted cita directamente da una definición de un mapa de $T$ $V$ $W$para cualquier combinación lineal de los vectores de la base $(v_1, \dotsc, v_n)$.

Puesto que los vectores $(v_1, \dotsc, v_n)$ formulario de una base de $V$, entonces, por definición, cada vector en $V$ puede ser (exclusivamente) se escribe como una combinación lineal de ellos, por lo $(*)$ realmente define el mapa de $T$ para todos los vectores en $V$.

La pregunta que queda entonces es, es el mapa de $T$ lineal? Para comprobar que, volver a las definiciones de la linealidad. Básicamente, usted necesita demostrar que $T(u+v) = T(u) + T(v)$ $T(\alpha v) = \alpha T(v)$ para todos los vectores $u,v \in V$ y todos los escalares $\alpha$. Puedes hacer eso?

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