Clásica De La Ocupación Problema. Hay $n$ distintos etiquetados bolas en una urna. $k$ de ellos de manera uniforme seleccionado con el reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contiene al menos una bola de cada tipo.
Deje $(M_1,\ldots, M_n)$ ser el vector de la cuenta de cada especie en la muestra. El vector $(M_1,\ldots, M_n)$ siguiente distribución multinomial $\operatorname{Mult}\left(k, \{\frac{1}{n},\ldots, \frac{1}{n}\}\right)$, y la probabilidad es $$ p_{k,n} = \Pr(M_1 > 0, \ldots, M_n >0) \etiqueta{1} $$ Puede ser explícitamente calculada usando la inclusión-exclusión de principio, o por la construcción de una relación de recurrencia para $p_{k,n}$: $$ p_{k,n} = \sum_{m=0}^n (-1)^m \binom{n}{m} \left(1-\frac{m}{n}\right)^k = \frac{n!}{n^k} \mathcal{S}_2\left(k, n\right) \etiqueta{2} $$ donde $\mathcal{S}_2\left(k, n\right)$ denota el número de Stirling del segundo tipo.
Ver a Brian Gladman del cuaderno de mersseneforum.org o en la sección 5.6 de los Problemas y las instantáneas desde el mundo de la probabilidad para obtener más detalles.
Para $k \ggg n$, la probabilidad de $p_{k,n}$ es muy cercano a 1 (ver DMLF para el comportamiento asintótico de la Stirling número). Estoy interesado en obtener más precisa asintótica de expansión, tal vez mediante el uso de la CT para evaluar $(1)$.
Referencias o soluciones explícitas son apreciados.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primero: la sentencia es más general, se formuló de lanzar $k$ bolas en $n$ de las urnas, y el cálculo de la probabilidad de que no urna está vacía.
Un asintótica puede ser obtenida por un Poissonization argumento: para un gran $n,k$ el proceso es asympotically equivalente a lanzar $n$ iid variables de Poisson con $\lambda = k/n$ [*]. La probabilidad de que todos son estrictamente positivo es, en esta aproximación:
$$P(n,k) \approx (1- e^{-\lambda})^n =\left(1-\exp\left(-\frac{k}{n}\right)\right)^n$$
[*] More precisely: if $X=\{x_1, x_2 \cdots x_n\}$ is a symmetric multinomial with $\sum x_i=k$, and $S=\{y_1, y_2 \cdots y_n\}$ is iid Poisson with $E(y_i)=\lambda = k/n$, then $P(S | \sum y_i = k ) =P(X)$
Some values of $1-P$
n k exact approx approx2
10 30 0.370862811 0.399919706 0.391737310
10 45 0.085332428 0.105697883 0.090006050
10 67 0.008580587 0.012241161 0.008799062
10 100 0.000265605 0.000453907 0.000249721
10 150 0.000001369 0.000003059 0.000000918
20 60 0.639394774 0.639903641 0.651552400
20 90 0.183791028 0.200223724 0.188593703
20 135 0.019540042 0.023158931 0.019936973
20 202 0.000632592 0.000821271 0.000634614
20 303 0.000003559 0.000005266 0.000003403
30 90 0.793550984 0.783913271 0.800389319
30 135 0.272036304 0.284758383 0.276500488
30 202 0.031460596 0.035106950 0.031928138
30 303 0.001037105 0.001231653 0.001045158
30 454 0.000006205 0.000008031 0.000006140
40 120 0.881840513 0.870330612 0.885651604
40 180 0.350826354 0.360357908 0.354883558
40 270 0.042236862 0.045781526 0.042723586
40 405 0.001408318 0.001601360 0.001419115
40 607 0.000008470 0.000010272 0.000008452
50 150 0.932380090 0.922187956 0.934494710
50 225 0.421119127 0.427966723 0.424774699
50 337 0.053946062 0.057450981 0.054452003
50 505 0.001852757 0.002051912 0.001865740
50 757 0.000011405 0.000013297 0.000011417
60 180 0.961304919 0.953306526 0.962474829
60 270 0.483814133 0.488429430 0.487093918
60 405 0.064472541 0.067880206 0.064980408
60 607 0.002223894 0.002421147 0.002237862
60 910 0.000013672 0.000015536 0.000013702
70 210 0.977857699 0.971980166 0.978503440
70 315 0.539725936 0.542501356 0.542661548
70 472 0.075928083 0.079278633 0.076442829
70 708 0.002632424 0.002830824 0.002647309
70 1062 0.000016170 0.000018040 0.000016214
80 240 0.987329875 0.983185850 0.987685543
80 360 0.589585377 0.590857994 0.592209048
80 540 0.086207817 0.089467104 0.086719755
80 810 0.003003158 0.003200157 0.003018527
80 1215 0.000018436 0.000020288 0.000018489
90 270 0.992750081 0.989910160 0.992945576
90 405 0.634046052 0.634103438 0.636388630
90 607 0.097405383 0.100601135 0.097919297
90 910 0.003449877 0.003649706 0.003465990
90 1365 0.000021408 0.000023304 0.000021470
The additional column (approx2) is a second order approximation, with a CLT-like correction to the above formula:
$$P(Y>0 \mid \sum y=k)=\frac{P(\sum y_i=k\mid Y>0)}{P(\sum y_i=k)} P(Y>0)$$
La primera aproximación asume la fracción es un (a causa de la ley de los grandes números, uno espera que el condicionamiento es asympotically irrelevante), mientras que la segunda aproximación se calcula la fracción de usar (una aproximación de orden cero) para la CLT, con una distribución de Poisson en el denominador y un truncado de Poisson en el numerador. De orden superior aproximaciones podrían ser obtenidos a través de Edgeworth expansiones, pero rápidamente se vuelven torpes, ya que los mayores momentos de orden de un truncado de Poisson están involucrados.
