Una familia infinita de subespacios

Question

Buenas noches. ¿Pueden ayudarme con esto, por favor? Construir una familia infinita de subespacios de un espacio vectorial $V$ , $W_1,W_2,...,W_n,...$ tal que $dim(W_n)=$ para todo n y también $W_nW_m=\{0\} $ si $n m$ .

Answer 1

Dejemos que $V$ sea el espacio de las funciones $\mathbb N \to K$ , donde $K$ es un campo.

Entonces $V$ es un espacio vectorial sobre $K$ de dimensión infinita.

Dejemos que $X \subseteq \mathbb N$ . Entonces el conjunto $W(X)$ de las funciones $\mathbb N \to K$ tener apoyo en $X$ es un subespacio de $V$ cuya dimensión es la cardinalidad de $X$ . Tener apoyo en $X$ significa que la función es cero fuera de $X$ .

Dejemos que $X_n = 2^n\mathbb N + 2^{n-1}-1$ y que $W_n=W(X_n)$ .

Entonces el $W_n$ tienen una dimensión infinita y son independientes entre sí porque el $X_n$ son infinitos y disjuntos entre sí.

(Tenemos $X_{n+1} = 2X_n+1$ y así $X_n$ el conjunto de números que tienen una representación binaria de la forma $x\cdots x 0 1\cdots 1$ donde hay $n-1$ dígitos $1$ al final. Esto demuestra que el $X_n$ son disjuntos por pares).

Answer 2

Si $V$ es numerable, elige una base $B:=\{e_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ , toma $W_0$ como el subespacio generado por los elementos de $B$ de índice primo, $W_1$ como el subespacio generado por los elementos de $B$ de índice dos veces primo, $W_2$ el subespacio generado por los elementos de índice tres veces mayor que 2, y así sucesivamente.