Ok, aburrido pregunta aquí (supongo que, al menos). Deje R=Z[√−5]. Deje M=⟨2,1+√−5⟩ R- módulo generado por 21+√−5. Se me pide que muestran que M×M=⟨(2,1+√−5),(1−√−5,2)⟩, es decir, que M×M es generado por dos elementos (2,1+√−5)(1−√−5,2), M×M es gratis.
Yo era capaz de demostrar que (2,1+√−5) (1−√−5,2) son linealmente independientes, pero no puedo encontrar ninguna manera de demostrar que generan el conjunto de la M×M módulo.
Traté de proceder de la siguiente manera: para cualquier a,b,c,d,e,f,g,h∈Z, debo encontrar a α,β,γ,δ∈Z tal que (2(a+b√−5)+(1−√−5)(c+d√−5),2(e+f√−5)+(1−√−5)(g+h√−5)) = (2(α+β√−5)+(1−√−5)(γ+δ√−5),(1+√−5)(α+β√−5)+2(γ+δ√−5)).
Después de algunos cálculos, esto me llevó a (2a+c+5d+(2b+d−c)√−5,2e+g+5h+(2f+h−g)√−5) = (2α+γ+5δ+(2β+δ−γ)√−5,2γ+α−5β+(2δ+β+α)√−5)),
lo que significa que tengo que resolver el siguiente sistema:
\begin{cases}
2\alpha + \gamma + 5\delta= 2a+c+5d\\
2\beta+\delta-\gamma= 2b+d-c\\
2\gamma + \alpha - 5\beta= 2e+g+5h\\
2\delta+\beta+\alpha= 2f+h-g\\
\end{casos}
y no sé cómo seguir.
Cualquier ayuda se agradece mucho! Gracias!
