Ok, aburrido pregunta aquí (supongo que, al menos). Deje $R=\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. Deje $M=\langle 2,1+\sqrt{-5} \rangle$ $R$- módulo generado por $2$$1+\sqrt{-5}$. Se me pide que muestran que $M \times M = \langle (2,1+\sqrt{-5}), (1-\sqrt{-5},2) \rangle$, es decir, que $M \times M$ es generado por dos elementos $(2,1+\sqrt{-5})$$(1-\sqrt{-5},2)$, $M \times M$ es gratis.
Yo era capaz de demostrar que $(2,1+\sqrt{-5})$ $(1-\sqrt{-5},2)$ son linealmente independientes, pero no puedo encontrar ninguna manera de demostrar que generan el conjunto de la $M \times M$ módulo.
Traté de proceder de la siguiente manera: para cualquier $a,b,c,d,e,f,g,h \in \mathbb Z$, debo encontrar a $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb Z$ tal que $$\big( 2(a+b\sqrt{-5})+(1-\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5}), 2(e+f\sqrt{-5})+(1-\sqrt{-5})(g+h\sqrt{-5}) \big)$$ $$=$$ $$\big( 2(\alpha+\beta\sqrt{-5})+(1-\sqrt{-5})(\gamma+\delta\sqrt{-5}), (1+\sqrt{-5})(\alpha+\beta\sqrt{-5})+2(\gamma+\delta\sqrt{-5}) \big).$$
Después de algunos cálculos, esto me llevó a $$\big( 2a+c+5d+(2b+d-c)\sqrt{-5}, 2e+g+5h+(2f+h-g)\sqrt{-5} \big)$$ $$=$$ $$\big( 2\alpha + \gamma + 5\delta+(2\beta+\delta-\gamma)\sqrt{-5}, 2\gamma + \alpha - 5\beta + (2\delta+\beta+\alpha)\sqrt{-5}) \big),$$
lo que significa que tengo que resolver el siguiente sistema: $$ \begin{cases} 2\alpha + \gamma + 5\delta= 2a+c+5d\\ 2\beta+\delta-\gamma= 2b+d-c\\ 2\gamma + \alpha - 5\beta= 2e+g+5h\\ 2\delta+\beta+\alpha= 2f+h-g\\ \end{casos} $$
y no sé cómo seguir.
Cualquier ayuda se agradece mucho! Gracias!
