Suma de variables Bernoulli con diferentes probabilidades de éxito

Question

Dejemos que $x_i$ sean variables aleatorias Bernoulli independientes con probabilidades de éxito $p_i$ . Es decir, $x_i=1$ con probabilidad $p_i$ y $x_i=0$ con probabilidad $1-p_i$ .

¿Existe una expresión cerrada o una fórmula aproximada para la distribución de la suma $\sum_i x_i$ ?

Answer 1

Sí, de hecho, la distribución se conoce como Distribución binomial de Poisson que es una generalización de la distribución binomial . La media y la varianza de la distribución son intuitivas y vienen dadas por

$$ \begin{align} E\left[\sum_i x_i\right] &= \sum_i E[x_i] = \sum_i p_i\\ V\left[\sum_i x_i\right] &= \sum_i V[x_i] = \sum_i p_i(1-p_i). \end{align} $$

La expectativa es sencilla porque es un operador lineal. La varianza también es sencilla debido a la hipótesis de independencia.

Answer 2

No me consta que exista una fórmula cerrada. Si n se vuelve relevante se puede aplicar el Teorema Central del Límite así que se aproxima la distribución de la suma con una distribución normal que tiene la media la suma de p_i y la varianza la suma de p_i * ( 1 - p_i).