Es $f(x)\exp(-x^2)$ summable si $f$ es la plaza de summable?

Question

Supongamos que $f \in L^2(\mathbb R)$; es decir, $$ \int_{- \infty}^\infty \vert f(x) \vert^2 dx < \infty. $$ Podemos de esta inferir que $$ \int_{- \infty}^\infty \vert f(x)\vert e^{-x^2} \, dx < \infty\text{ ?} $$ Intuitivamente esto es claro desde $\exp(-x^2)$ decae al menos tan buena como la de $f$, sin embargo, cómo demostrarlo? Podemos representar a $f$ como el peor de los caso de la función cuando se trata de la descomposición, y demostrar que a partir de ahí? Por ejemplo, podemos decir que existe una $\Delta$ tal que $e^{-x^2} \leq \vert f(x) \vert$$x \geq \Delta$? Si podemos, nos gustaría hacer: $$ \int_{- \infty}^\infty \vert f(x) \vert e^{-x^2} dx \leq \int_{\vert x \vert \leq \Delta} \vert f(x) \vert e^{- x^2} dx + \int_{\vert x \vert \geq \Delta} \vert f(x) \vert^2 \, dx < \infty. $$

Answer 1

Gran Ayuda :

Por Cauchy-Schwartz,

$$\int|f(x)e^{-x^2}| \, dx\leq \sqrt{\int|f(x)|^2 \, dx}\sqrt{\int e^{-2x^2} \, dx}.$$

Answer 2

El hecho esencial no es algo acerca de $e^{-x^2}$ descomposición rápida, pero no es ajeno a eso. El hecho esencial es esto: $$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx < \infty. $$

El punto es que si $(X,\mathcal F,\mu)$ es una medida de espacio y $\mu(X)<\infty$$L^2(X)\subseteq L^1(X)$. Así que vamos a $X=\mathbb R$ y deje $\mu$ ser esta medida: $$ e^{-x^2}\,dx. $$