¿Cuál es un ejemplo muy simple de la manera en la geometría proyectiva se utiliza en la mecánica cuántica?

Question

En El Camino a la Realidad por Roger Penrose, de la geometría proyectiva como se desarrolló durante el Renacimiento se enmarca como (eventualmente) juega un papel fundamental en la mecánica cuántica. (De hecho, Penrose parece entusiasmado con la idea de que hay alguna conexión entre la pintura y la física, particularmente donde twistor teoría se refiere. El libro del epílogo es el ejemplo más patente de esto, aunque hay muchos otros ejemplos.)

No haber estudiado la mecánica cuántica, realmente no puedo imaginar cómo los espacios proyectivos sería utilizado para formalizar lo que saben de manera intuitiva acerca de la manera QM obras.

Alguien puede proporcionar un ejemplo muy simple?

Answer 1

En la mecánica clásica, el estado de una partícula en una suave colector $M$ es representado como un punto de la cotangente del paquete de $T^{\ast}(M)$. En la mecánica cuántica, el estado de una partícula en un colector $M$ lugar se representa como un vector unitario en el espacio de Hilbert $H = L^2(M)$, con excepción de dos vectores unitarios que difieren en fase (es decir, diferenciándose por la multiplicación por un escalar) se consideran como el mismo estado, porque los resultados de todos los posibles experimentos realizados en los dos estados son los mismos. Por lo tanto el estado de una partícula se representa, en realidad no por un vector unitario en $H$, pero por un punto en el espacio proyectivo $\mathbb{P}(H)$. Simetrías de un sistema cuántico son identificadas con el continuo homomorphisms $G \to \text{PGL}(H)$ topológico de los grupos, o con las representaciones de un (probablemente Mentira) grupo $G$.

En la computación cuántica, se puede considerar la más pequeña de Hilbert espacios. Por ejemplo, el espacio de Hilbert $H = \mathbb{C}^2 = \text{span}(\langle 0|, \langle 1|)$ describe un qubit, y $\mathbb{P}(H)$ es la esfera de Riemann, que en este contexto se conoce como la esfera de Bloch.