De Laplace de la Ecuación con Neumann BC

Question

Hola compañeros de los entusiastas de las matemáticas,

Actualmente estoy trabajando en algunas investigaciones que ver con el campo eléctrico inducido dentro de la el cerebro a través de la estimulación magnética.

Estoy tratando de resolver la ecuación diferencial parcial en 2D cartesiano de coordenadas

\begin{equation} \nabla \cdot \underline{\sigma} \vec{\nabla}\phi = - \nabla \cdot \left(\underline{\sigma} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\right) \end{equation}

Para un vector magnético potencial de $\vec{A}=-\frac y2 \hat{i}+\frac x2\hat{j}$ y el potencial vector magnético puede ser separado por lo que la función de momento no necesita ser conocido.

Desde arriba se puede escribir como

$$ \sigma_x\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\sigma_y\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=0 $$ y después de un cambio de variables $\gamma=\left(\frac{\sigma_x}{\sigma_y}\right)^{\frac12}y$ disfruta de Laplace de la ecuación $$ \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\parcial \gamma^2}=0 $$ La superficie de Laplace de la ecuación es que resolverse es el rectángulo delimitado por las líneas de $x=a,\ x=-a$ $y=b,\ y=-b$ sujeto a las condiciones de contorno de Neumann \begin{align} \left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{x=a}&=\frac y2 \quad &\left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{x=-a}&=\frac y2\\ \left.\frac{\partial\phi}{\partial y}\right|_{y=b}&=-\frac x2 \quad &\left.\frac{\partial\phi}{\partial y}\right|_{y=-b}&=-\frac x2 \\ \end{align} Que no puede ser resuelto a pesar de que mi profe de matemáticas. dijo que, ya que es lineal en el PDE, cada una de las condiciones de frontera pueden ser resueltos de forma independiente con los otros tres Neumann BC pone a cero y la respuesta final es una combinación lineal de las cuatro soluciones. Los que me han tratado en vano. Los pensamientos?

Gracias

Answer 1

Usted no necesita resolver cuatro diferentes problemas de valor de frontera: dos son suficientes.

1. reemplace las condiciones en los lados verticales con homogéneo;
2. reemplace las condiciones en los lados horizontales con homogéneo.

A continuación, en agregar. Voy a trabajar a través de la parte 1.

La razón para tener homogénea BCs en un par de lados opuestos es que se pueden crear dentro de la solución mediante el uso de una base de funciones propias de la segunda derivada del operador. En el problema 1, trabajamos con las funciones propias de $\partial^2/\partial x^2$$(-a,a)$. Las funciones propias de Neumann (o de Dirichlet) condiciones son trigonométricas: senos, cosenos, y sus combinaciones lineales. En este caso, vamos a expandir $-x/2$, que es una función impar. Así que no vamos a necesitar los cosenos.

Función seno de $\sin \beta x$ satisface la condición de contorno $(\sin \beta x)'\bigg|_{x=a}=0$ al $\beta = \frac{2n+1}{2a}\pi$ para algunos entero $n\ge 0$. Escribo $\beta_n = \frac{2n+1}{2a}\pi$ por debajo.

Tener cuidado de la homogeneidad de las condiciones de contorno, nos dirigimos a la PDE sí mismo. Los bloques de construcción (separados soluciones) de la ecuación de Laplace son de la forma "(trigonometría hiperbólica) veces (trig)". Es decir, cualquier función de la forma $$ u(x,y)=\sum_{n=0}^\infty (A_n\cosh \beta_n y+B_n\sinh\beta_n y) \sin\beta_n x \etiqueta{1} $$ resuelve el PDE.

Tener cuidado de la PDE, nos dirigimos a los restantes, de las condiciones de contorno no homogéneas. El objetivo es elegir a $A_n,B_n$, de modo que $u$ les satisface. La observación de que $\partial u/\partial y$ está sometido a la misma condición en la parte superior y los lados de la parte inferior, llegamos a la conclusión de que debe ser una función par de $y$, por lo tanto $u$ debe ser una función impar de $y$. Esto simplifica (1) $$ u(x,y)=\sum_{n=0}^\infty B_n\sinh\beta_n y \, \sin\beta_n x $$ con el derivado $$ u_y(x,y)=\sum_{n=0}^\infty \beta_n B_n\cosh\beta_n y \, \sin\beta_n x \etiqueta{2}$$

Al $y=b$, la suma (2) debe coincidir $-x/2$.

Los coeficientes de $-x/2$ en base a la $\{\sin \beta_n x\}$ $$ \frac{1}{a}\int_{-a}^a -\frac{x}{2}\sin \beta_n x\,dx = \frac{(-1)^{n+1}}{un \beta_n^2} $$ a menos que arruiné la integración. Por lo tanto, $\beta_n B_n = (-1)^{n+1}/(a \beta_n^2)$, que los rendimientos de $B_n= (-1)^{n+1}/(a\beta_n^3)$. Solución: $$ u(x,y)= \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\frac{8a^2}{(2n+1)^3\pi^3} \sinh \frac{2n+1}{2a}\pi y \, \sin \frac{2n+1}{2a}\pi x \etiqueta{3}$$ Esta completa parte 1.

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Por suerte para usted, la Parte 2 es tan similares que reetiquetar $x\leftrightarrow y$, $a\leftrightarrow b$ es todo lo que usted necesita. La solución es $$ v(x,y)= \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\frac{8b^2}{(2n+1)^3\pi^3} \sinh \frac{2n+1}{2b}\pi x \, \sin \frac{2n+1}{2b}\pi y \etiqueta{4}$$ La suma de $u+v$ $\phi$ que te quería.

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Algunas observaciones. La ventaja de homogénea BCs restringir el espacio de soluciones de un lineal subespacio. Cuando buscamos separados soluciones de $X_n(x)Y_n(y)$, podemos usar $X_n$ (o $Y_n$, en la parte 2) que satisfacen la homogeneidad de BCs; de esta manera, y suma $\sum X_nY_n$ satisfará así. Simplemente, $0$ es el único número que podemos agregar a sí mismo, tantas veces como se desee, sin tener que cambiarlo.

Resumen del proceso:

1. Dos homogénea BCs están integrados en la elección de eigenfunction base.
2. El PDE es construido en forma de $X_nY_n$ productos
3. La no homogénea BCs son igualados por los coeficientes.