Diámetro de tres círculos inscritos

Question

¿Cuál es el diámetro de un círculo en el que están inscritos tres círculos idénticos más pequeños, dos de los cuales están a un lado de una cuerda y el tercero al otro lado? Este problema surgió al cortar un tronco en palanquillas para tornear patas de mesa. He intentado incluir un diagrama, pero los nazis de la reputación no me dejan.

Answer 1

Sea $r$ sea el radio del círculo pequeño, $s$ la distancia del centro del círculo grande a la cuerda, y $t$ la distancia desde el centro de la circunferencia grande al centro de una de las dos circunferencias tangentes pequeñas:

Claramente $t = r + s$ y también $t^2 = r^2 + \left(r-s\right)^2$ y tenemos

$$\left( r + s \right)^2 = r^2 + \left( r - s \right)^2$$

de modo que, después de un poco de álgebra,

$$4 s = r$$

Por lo tanto, el radio del círculo grande es $2r+s = \frac{9}{4}r$ .

Answer 2

Sea el radio pequeño $r$ y la distancia desde el centro del círculo grande a $BC$ sea $x$ . Posiciona el centro del círculo grande en el origen con BC horizontal y por debajo del $x$ eje. Entonces el centro del círculo pequeño superior derecho es $(1,1-x)$ . Traza la línea desde $A$ a través de este punto y se encontrará con el círculo grande en el punto de tangencia. El radio de la circunferencia grande es $2+x$ mirando el círculo inferior. El punto de tangencia es entonces $(\frac {2+x}{\sqrt{2-2x+x^2}},\frac {(2+x)(1-x)}{\sqrt{2-2x+x^2}})$ . Exigiendo que este a distancia $1$ desde el centro del círculo pequeño da $(\frac {2+x}{\sqrt{2-2x+x^2}}-1)^2+(\frac {(2+x)(1-x)}{\sqrt{2-2x+x^2}}-(1-h))^2=1$ que Alfa resuelve con $x=\frac 14$ . Esto significa que el radio del círculo grande es $\frac 94$ el radio del más pequeño.