Un espacio métrico de tal manera que todas cerrado bolas compacto es completo.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico que tiene la propiedad de que para cualquier $x\in X$$r>0$, el cierre de bola $$\bar{B}(x,r):=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$$ es compacto. Mostrar que $X$ es completa.

Creo que tengo una prueba, pero sólo estoy usando que la unidad cerrada bolas $\bar{B}(x,1)$ son compactos. Tal vez me estoy perdiendo algo?

Intento: Vamos a $(x_n)_{n=1}^\infty$ ser una secuencia de Cauchy en $(X,d)$. A continuación, $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq N$, $d(x_n,x_N)<1$. Así, $\forall n\geq N$, $x_n\in\bar{B}(x_N,1)$ que es compacto, por supuesto, por lo $(x_n)_{n=N}^\infty$ es una secuencia en este juego compacto y por lo tanto tiene un convergentes larga. Por lo tanto, $(x_n)_{n=1}^\infty$ es una secuencia de Cauchy que ha convergente larga, por lo que converge en $(X,d)$. Por lo tanto, $(X,d)$ es completa.

Answer 1

La prueba está a la derecha.

Como justificación de que no es extraño que usted necesita un poco menos de la hipótesis, déjenme mostrarles lo que sucede cuando el espacio métrico es una normativa espacio: desde cualquiera de las dos bolas son homeomórficos, si una bola cerrada es compacta que todos son. De hecho, $$ \bar B(0,1)\simeq \bar B(y,r) $$ a través de la función continua $x\mapsto r(x+y)$.

Answer 2

Si hay un $r>0$ $\overline{B(x,r)}$ compacto para todos los $x$, entonces para cualquier $r>\varepsilon>0$, $\overline{B(x,\varepsilon)}$ es compacto. No es tan mucho más fuerte que usted está usando sólo la compacidad de $B(x,1)$ todos los $x$; lo que implica la compacidad en todas las escalas más pequeñas.