La determinación de cuando una función es compleja diferenciable

Question

Tengo una tarea de la pregunta, y estoy teniendo un tiempo difícil interpretación.

Pregunta: Donde es la función de $f(x+iy)=x^4y^5+ixy^3$ complejo diferenciable? Determinar la derivada en esos puntos.

Mi primer plan era encontrar una región en el siguiente teorema aplicado:

Supongamos $f=u+iv$ es un complejo de valores de la función definida en un conjunto abierto $\Omega$. Si $u$ $v$ son continuamente diferenciables y satisfacer la Cauch-Riemann ecuaciones en $\Omega$, $f$ es holomorphic en $\Omega$$f'(z)=\frac{\partial f}{\partial z}$.

Por supuesto, $u$ $v$ va a ser continuamente diferenciable; la única pregunta es, ¿en qué región son los de Cauchy-Riemann ecuaciones satisfecho?

Así que, me pareció que la de Cauchy-Riemann ecuaciones en este caso son los siguientes:

$4x^3y^5=3xy^2$ $5x^4y^4=-y^3$

y el único punto en el que estas ecuaciones son satisfechos es $(0,0)$.

Hay que conversar con este teorema, pero un solitario punto no es una región, por lo que no estoy seguro de si alguno de estos teoremas son relevantes.

Es la única manera de volver atrás y encontrar en qué puntos

$lim_{h\to0} \frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$

existe?

Gracias.

Answer 1

Es fácil demostrar que si en algún punto en particular de la función de no satisfacer a la de Cauchy-Riemann ecuaciones, entonces sus derivados complejos no puede existir en ese momento -- o contrapositively: Si el complejo derivado existe en algún punto, a continuación, la de Cauchy-Riemann ecuaciones están satisfechos allí.

Considere la posibilidad de $h$ va hacia la $0$ a lo largo de ya sea el real o el eje imaginario. Si el complejo diferencia cociente tiene el mismo límite que en estos dos casos (como debe de tener si el general límite de $h\to 0$ existe), entonces, de una manera muy simple de cálculo que significa que el Cauchy-Riemann ecuación se satisface.

El teorema de citar es (más o menos) el recíproco de este caso fácil, y es el más difícil de dirección.

Answer 2

No, No es necesario comprobar el límite (aunque puede hacerlo si lo desea). La existencia de los complejos límite es equivalente a la CR ecuaciones (cuando la función es continuamente diferenciable, como en este caso).

Suponiendo que las ecuaciones son correctas, aviso de que hay más puntos que has perdido - se divide por $y$ no toma en cuenta el hecho de que $y$ 0. Así que, para empezar, toda la línea de $\{y=0\}$ satisface esas ecuaciones. Por último, es fácil mostrar que esos son los únicos puntos que satisfacen las ecuaciones.