¿Cómo es un singular medida continua definida?

Question

En un espacio medible, cómo es una medida singular continua en relación a otro definido? He buscado en internet y en algunos libros en vano y que todo aparece en un caso especial - la medida de Lebesgue espacio de $\mathbb{R}$.

1. ¿Sabe usted si es singular continuo de medidas que pueden ser generalizados a una más general medir el espacio de Lebesgue medir el espacio $\mathbb{R}$? En particular, puede ser definida en alguna medida el espacio, como se insinuó por el artículo de Wiki he enlazado más abajo?
2. Con el fin de conocer las respuestas a las preguntas anteriores es que me gustaría saber a en qué medida la descomposición de un singular medida en un discreto medida singular y una medida continua todavía existen, todos wrt un refrence medida?

Gracias y saludos!

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PS: En caso de que usted puede preguntarse, me encuentro con este concepto de la Wikipedia (siento que de alguna manera descuidada aunque):

Dado $μ$ $ν$ dos σ-finito firmado medidas en un espacio medible $(Ω,Σ)$, existen dos $σ$-finito firmado medidas de $ν_0$ $ν_1$ de tal forma que:

• $\nu=\nu_0+\nu_1\,$
• $\nu_0\ll\mu$ (es decir, $ν_0$ es absolutamente continua con respecto a $μ$)
• $\nu_1\perp\mu$ (es decir, $ν_1$ $μ$ están en singular).

La descomposición de la singular pieza puede refinado: $$ \, \nu = \nu_{\mathrm{cont}} + \nu_{\mathrm{cantar}} + \nu_{\mathrm{pp}} $$ donde

• $\nu_{\mathrm{cont}}$ es absolutamente continua de la parte
• $\nu_{\mathrm{sing}}$ es el singular continuo de parte
• $\nu_{\mathrm{pp}}$ es el puro punto de la parte (un discreto medida).

Answer 1

No estoy completamente seguro, y no puedo proporcionar un públicamente disponible de referencia, pero he leído en algunas notas de la conferencia de nuestra universidad que esta descomposición puede ser generalizado a $\mathbb{R}^n$. Deje $\lambda$ ser la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ $\mu$ la medida bajo consideración. A continuación,

$$ \mu = \mu_a + \mu_s + \mu_d $$

donde $\mu_d$ es discreto (es decir, apoyado en una contables, con medida positiva para cada átomo), $\mu_a$ es absolutamente continua w.r.t. $\lambda$ (es decir, posee una densidad), y $\mu_s$ es singularmente continua, es decir, se apoya en un Lebesgue nula, y los átomos de este conjunto tiene medida cero.

Un ejemplo de $\mu_s$ $\mathbb{R}^2$ sería una medida que se apoya en una dimensión submanifold de $\mathbb{R}^2$, por ejemplo, la distribución uniforme sobre el círculo unidad.

Answer 2

En el caso de medidas de Borel en la recta real, la continua singular parte $\nu_\mathrm{sing}$ puede ser caracterizada de la siguiente manera: en Primer lugar dejar $$ F(x) = \nu_\mathrm{cantar}((-\infty,x]). $$ (En el caso especial de la probabilidad de medidas, este es el acumulado de función de distribución de probabilidad.) A continuación, $F$ es una función continua, sino $\nu_\mathrm{sing}$ y la medida de Lebesgue son mutuamente singular.

El Cantor de la función en el papel de $F$ es un ejemplo. El Cantor de distribución es una distribución de probabilidad ninguna parte de que tiene una densidad con respecto a la medida de Lebesgue. Pero su función de distribución acumulativa, no obstante, es continua. I. e. no hay ninguna función $f$ tal que para cada conjunto de Borel $A$, $$ \nu(A) = \int_A f(x)\;dx + \nu_\mathrm{singular}(A) $$ para alguna otra medida $\nu_\mathrm{singular}$ (a excepción de la función trivial $f=0)$.