Un punto de vista sobre el Teorema Central del Límite

Question

Entiendo que en la CLT, tenemos

$\sqrt{N} \left( \frac{\bar{X}_N - \mu}{\sigma} \right) \overset{d}\to N\left(0,1\right) \qquad (*)$

donde $\bar{X}_N := \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i$ es la media de la muestra, y $\sqrt{N}$ infla el $\frac{\bar{X}_N - \mu}{\sigma}$$\mathcal{O}_p(1)$, mientras que sin el $\sqrt{N}$, $\frac{\bar{X}_N - \mu}{\sigma} \overset{p}\to 0$.

$\textbf{My Question is:}$ desde $\sqrt{N} \left( \frac{\bar{X}_N - \mu}{\sigma} \right) = \frac{\bar{X}_N - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{N}}} = \frac{\bar{X}_N - \mathbb{E}\left[\bar{X}_N\right]}{SD\left(\bar{X}_N\right)}$, es correcto a la vista de la CT como $\frac{\bar{X}_N - \mathbb{E}\left[\bar{X}_N\right]}{SD\left(\bar{X}_N\right)} \overset{d}\to N\left(0,1\right)$? Si sí, estamos teniendo en cuenta el $\sqrt{N}$ a partir de la expresión de $(*)$ como parte de la desviación estándar de la media de la muestra, como opuesto a un inflater, y significa que en la medida que podamos mostrar que $SD\left(\bar{X}_N\right) \in \mathcal{O}_p(1)$, no necesitamos a considerar sobre la tasa de inflación (por ejemplo,$\sqrt{N}$) por separado?

Gracias!

Answer 1

Formalmente hablando, el CLT es, en principio, el hecho de que se trate con el comportamiento limitante de la normalización de sumas de variables aleatorias, decir $S_n=(1/n)\sum X_i$,

$$\frac{S_n - \mathbb{E}\left[S_n\right]}{\sqrt{\text{Var}(S_n)}}$$

Así que, de hecho, el $\sqrt n$ término proviene de la desviación estándar de la suma.

Aún así, pensar en él como un "inflater", como el OP dice, no es sin conceptual méritos (aunque es un "derivado" inflater, no hemos de determinar por separado).