He encontrado la coherencia axiomas para monoidal categorías muy confuso hasta que me di cuenta de que lo que realmente están tratando de decir es lo siguiente. Dada una categoría monoidal $\mathcal{M}$ y una secuencia $O_1, \dots, O_n$ de los objetos (ordenada), hay varias formas de realizar el sentido de
$$O_1 \otimes \dots \otimes O_n$$
todos de los cuales corresponden a una selección de parenthesization. Si tenemos asociador isomorphisms como en la definición de una categoría monoidal, entonces podemos obtener functorial mapas de entre una selección de parenthesization y otro; sin embargo, la realidad pone varios mapas correspondientes a las distintas opciones de asociador. Por lo que a priori el orden de parenthesization asuntos sólo hasta el isomorfismo, pero el isomorfismo no se determina únicamente a priori. La coherencia de los axiomas de estado que el isomorfismo es único (cualquiera sea la elección de asociador de hacer, vas a obtener los mismos mapas); es decir, $O_1 \otimes \dots \otimes O_n$ puede ser definida de manera única hasta canónica de isomorfismo. En el monoidal simétrica caso, el axioma establece que $\prod_A O_a$ puede ser definida de manera única hasta el isomorfismo canónico al $A$ es arbitraria finito (desordenada) set.
Hay una noción más general de un diagrama conmutativo en una categoría superior. Por ejemplo, en un 2-categoría (aquí, sólo una estricta uno), se puede decir que una plaza diagrama 2-conmutativa; esto significa que las dos maneras de ir alrededor de un diagrama están relacionados por una transformación natural. Esto conduce a la noción de un 2-fibrado producto. La noción de un 2-fibrado producto es importante cuando usted desea realizar un seguimiento de mayor morfismos; por ejemplo, es la correspondiente noción de pilas (que forman una 2-categoría).
Otro ejemplo es en la topología; uno puede pensar de un 2 conmutativo el diagrama como un diagrama en el que los desplazamientos hasta una determinada homotopy.
En un monoidal de mayor categoría, la coherencia de los axiomas 2-conmutativa diagramas en lugar de la llanura conmutativa diagramas, y el 2-morfismos en el 2-conmutatividad mismos han de satisfacer la coherencia de las condiciones de su propio. Esta es una especie de desorden, pero Lurie ha desarrollado una forma de ocultar la coherencia de los axiomas de una categoría monoidal en DAG II (así como para generalizar a $(\infty, 1)$-categorías). Realmente no entiendo lo suficiente como para decir mucho aquí.
