Definibles y cuasi-definibles sobre los modelos.

Question

Definición: Un conjunto X es cuasi-definibles sobre C si es definible sobre todo el modelo de M que contiene a C.

i) Muestran que un singleton $\{b\}$ es cuasi-definibles sobre C iff $b$ es algebraico sobre C

ii) Dejar $L = \{E\}$, T la teoría de la equivalencia de la relación con $n$ infinito clases, $n>1$. Muestran que las clases de equivalencia no son definibles $\emptyset$ pero si son cuasi-definible $\emptyset$.

Para el punto i) $\Rightarrow$ sigue directamente de la definición, porque como $\{b\}$ es cuasi-definible, a continuación, $b$ es algebraico desde $\{b\}$ es finito. Pero la otra dirección no está clara para mí, porque es cierto.

Para el punto ii) como $L = \{E\} \ $ el único fórmulas sobre $\emptyset$ se $ x=x $ o $xEx$ que la definición de todo el modelo y las negaciones y las conjunciones de estos. Así, una clase de equivalencia no es definible. pero yo no podía ver por qué son cuasi-definible $\emptyset$.

Agradezco cualquier sugerencia. Gracias

Answer 1

Supongo que usted está trabajando en el interior de un monstruo modelo de $\cal U$.

i)($\Leftarrow$) Un elemento $b$ que es algebraico sobre $C$ pertenece a cada modelo contiene $C$. En efecto, supongamos $\phi(b)\wedge\exists^{=n}x\,\phi(x)$ y deje $M$ ser cualquier modelo que contiene los $C$. A continuación,$M\models \exists^{=n}x\,\phi(x)$. Por lo tanto $M$ contiene todos los $n$ soluciones de $\phi(x)$, lo $b$ está entre estos.

ii) tenga en cuenta que hay un primer orden de la frase diciendo que no se $n$ no $E$-elementos equivalentes. Esta frase se ha testigos en cualquier modelo que contiene los $C$. Esto demuestra que cada clase de equivalencia es cuasi-definible. Tenga en cuenta también que hay $C$-automorfismos de swaps de clases de equivalencia. Por lo tanto, estos no pueden ser definible.

Permítanme una discreción.

Automorfismos son la clave para entender este asunto. La siguiente propuesta debe responder a su primera pregunta.

Propuesta de Un elemento $b$ es algebraico sobre $C$ fib tiene un número finito de orbitan $C$.

La prueba de ($\Rightarrow$) Supongamos $\phi(b)\wedge\exists^{=n}x\,\phi(x)$ y, a continuación, $\phi(fb)$ por cada $C$-automorphism.

($\Leftarrow$) Deje $M\supseteq C$ ser cualquier modelo (de pequeño cardinalidad). Deje $p(x)={\rm tp}(b/C)$. Por homogeneidad $p({\cal U})$ es de la órbita de la $b$$C$. Si $p({\cal U})$ es infinito que tiene la cardinalidad de a $\cal U$. Entonces no es $c\notin M$ tal que $c\models p(x)$. Por homogeneidad hay un $C$-automorphism $f$ tal que $fb=c$. A continuación,$b\notin f^{-1}[M]$. Nota que el segundo es un modelo que contiene los $C$.

Por el camino nota de que un hecho similar se tiene para conjuntos definibles.

La proposición de Un definibles por el conjunto de $\varphi({\cal U},b)$ es cuasi-definible $C$ fib tiene un número finito de órbita Aut$({\cal U}/C)$.