Resolver en los enteros positivos de la ecuación de $a^3+b^3=9ab$

Question

Resolver en los enteros positivos de la ecuación: $$a^3+b^3=9ab$$

Yo trate de: $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}=9\Longrightarrow a^2<9b,b^2<9a$$

Por supuesto, no puedo resolverlo. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Por la Media Aritmética Media Geométrica de la Desigualdad, tenemos $$\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\right)\ge \sqrt{ab}.$$ Ahora sólo tenemos un pequeño número de posibilidades para examinar.

Un simple congruential observación, a continuación, reduce drásticamente el número de casos. Para $a$ $b$ deben ser ambos inclusive. (Si ambos son impares, el lado izquierdo es regular y el lado derecho es impar. Si son de diferente paridad, el lado izquierdo es impar y el lado derecho es aún).

Por lo tanto $a^3+b^3$ es divisible por $8$, y uno de $a$ $b$ es divisible por $2$, y el otro es divisible por $4$.

Answer 2

SUGERENCIA: $x^3+y^3=9xy$ es la ecuación Cartesiana de una capa delgada de Descartes $x^3+y^3=3axy$$a=3$. Este es un racional cúbicos con un doble punto y sus ecuaciones paramétricas son $x=\frac{9t}{1+t^3}$ $y=tx$ el lazo de La curva se produce para valores de $t\gt 0$ por lo que el entero de los puntos que estamos buscando pertenecen a este bucle.

Para $t\ge 3$ ha $x\lt 1$ por lo tanto los posibles valores enteros $x, y$ corresponden a los valores del parámetro $t$ tal que $0\lt t \lt 3$.

Al $t=1$ no hay entero solución de $(a,b)$ pero cuando $t=2$ no es la solución a $\color {red}{(a,b)=(2,4)}$ (y trivialmente $(b,a)$ de la simetría $y=x$).

Ahora,para descartar los valores fraccionarios de $t$, teniendo derivados, tenemos $$x'=\frac{9-18t^3}{(1+t^3)^2}$$ $$y'=\frac{18t-9t^4}{(1+t^3)^2}$$ es de la siguiente manera $$\max x=\frac{9\sqrt[3]{2}}{1+2}=3\sqrt[3]{2}\approx 3.7797$$ $$\max y=\frac{9\sqrt[3]{4}}{1+2}=3\sqrt[3]{4}\approx 4.7622$$

Por lo tanto, no son sólo $12$ puntos a verificar (en el "entramado" $\{1,2,3\}\text {x}\space \{1,2,3,4\}$). Por lo tanto la única solución en los enteros positivos es el dado por una $(2,4)$.