La identidad no puede ser un conmutador en un álgebra de Banach?

Question

El artículo de la Wikipedia en álgebras de Banach reclamaciones, sin una prueba o referencia, que no existe un (unital) álgebra de Banach $B$ y elementos $x, y \in B$ tales que $xy - yx = 1$. Esto es sorprendente para mí, pero tal vez la prueba es sencilla; nadie tiene una prueba y/o referencia?

De manera más general, habría ingenuamente pensé que podría incrustar cualquier anillo en un álgebra de Banach. Supongo que en realidad, hay serias restricciones para hacer esto; son estas cuestiones que se debatieron en cualquier lugar?

Answer 1

Hay un Teorema de Wielandt que afirma que si $a$ es cualquier normativa álgebra, completa o no, no podemos expresar $I = 1_{A}$ en el formulario de $xy - yx$. La prueba se administra en Rudin del libro, pero es tan hermoso que no puedo dar aquí. Suponga que $xy -yx = I$. Yo reclamo que $xy^{n} - y^{n}x = ny^{n-1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Tenemos el caso $n = 1.$ Suponga que $xy^k - y^kx = ky^{k-1}$ $k$. Entonces $$xy^{k+1} - y^{k+1}x = (xy^{k} y^{k}x)y +y^{k}(xy-yx) =ky^{k-1}y +y^{k}.I = (k+1)y^{k},$$ por lo que la demanda es establecido por inducción. Tenga en cuenta que $y^n \neq 0$ para $n$, ya que de lo contrario existe un valor mínimo de $n$ con $y^n = 0$, que conduce a $0 = xy^n - y^nx = ny^{n-1}$, contrario a la elección de $n$.

Pero ahora, para cualquier $n$ tenemos $$n\|y^{n-1} \| = \|xy^{n} -y^{n}x\| \leq 2\|x\|. \|s\| . \|y^{n-1} \| .$$ Desde $y^{n-1} \neq 0$, como se comentó anteriormente, tenemos un total de $ 2 \|x\| . \|s\| \geq$ n, una contradicción, como $n$ es arbitraria.

Answer 2

He aquí un bosquejo de una prueba. Deje que $\sigma(x)$ denotar el espectro de $x$. Entonces $\sigma(xy)\cup\{0\} = \sigma(yx)\cup\{0\}$. Por otro lado, $\sigma(1+yx)=1+\sigma(yx)$. Si $xy=1+yx$, entonces los dos anteriores sentencias, junto con el hecho de que el espectro de cada uno de los elementos de un álgebra de Banach es no vacío, implica que $\sigma(xy)$ es ilimitado. Pero todos los elementos de un álgebra de Banach se ha acotado el espectro.

(No recuerdo donde me enteré de esta prueba, ni tampoco tengo una referencia a ella con la mano, pero no he venido hasta con él mismo.)

La prueba de que $\sigma(xy)\cup\{0\}=\sigma(yx)\cup\{0\}$ se reduce a mostrar que $1-xy$ es invertible si y sólo si $1-yx$ es invertible, un problema que fue objeto de un MathOverflow pregunta.

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Hay una prueba de uso de derivaciones en la sección 2.2 de Sakai el libro de álgebra de operadores en sistemas dinámicos: la teoría de la ilimitada derivaciones en $C^*$-álgebras. Un almacén de derivación en un álgebra de Banach $A$ es un delimitada lineal mapa de $\delta$ en $Un$ tal que $\delta(ab)=\delta(a)b+\delta(b)$ para todo $a$ y $b$ en $Un$. Teorema 2.2.1 en la página 18 se muestra que, si $\delta$ es un almacén de derivación en $Un$, y si $a$ es un elemento de $A$ que $\delta^2(a)=0$, entonces $\lim\limits_{n\to\infty}\|\delta(a)^n\|^{1/n}=0$. La prueba utiliza la inducción con una casa de computación para demostrar que $\delta^2(a)=0$ implica $n!\delta(a)^n=\delta^n(a^n)$ y, a continuación, el resultado se sigue de acotamiento de $\delta$ y el hecho de que $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0$.

Corolario 2.2.2 concluye que la identidad no es un colector. Si $ab-ba=1$, entonces el delimitada derivación $\delta_a:\$ definida por $\delta_a(x)=ax-xa$ satisface $\delta_a^2(b)=\delta_a(1)=0$. Por el teorema anterior, esto implica que $1=\lim\limits_{n\to\infty}\|1^n\|^{1/n}=\lim\limits_{n\to\infty}\|\delta_a(b)^n\|^{1/n}=0$.

(Integridad no se utiliza en este enfoque. Un elemento de $x$ de $Un$ satisface $\lim\limits_{n\to\infty}\|x^n\|^{1/n}=0$ si y sólo si $\sigma(x)=\{0\}$, y $x$ es llamado un generalizada nilpotent. Por cierto, esto también le da un enfoque para responder el problema de ejemplo en el MathOverflow pregunta Álgebra Lineal Problemas? El resto de la Sección 2.2, tiene una serie de resultados interesantes en delimitada derivaciones y los conmutadores de operadores acotados.)