Multivariante Significa Teorema Del Valor De Referencia

Question

No es este el resultado que estoy casi seguro de que he probado un par de veces, pero de vez en cuando se me olvida si es verdadero o falso. También, cada vez que se me olvide, yo trato de buscar y nunca encontrar una referencia de nuevo (no estaba en uno de los análisis de los libros de mi disco duro?). El resultado es:

Deje $f\colon U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ una función derivable conectado a un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$. Entonces, para cualquier $x,y \in U$ no es un porcentaje ($z \in U$ la satisfacción de: $$|f(x)-f(y)| \leq |Df(z)(x-y)|$$

Me parece que en wikipedia para el caso de $m = 1$ o $n = 1$, pero me parece que no puede encontrar la general de la prueba en cualquier lugar. ¿Estoy loco? Podría por favor alguien que me señale una referencia de este teorema?

Answer 1

No puedo señalar a una referencia, pero tengo un fuerte sentimiento vi a un resultado similar. Sin embargo, creo que, desde tan pronto como usted tiene la conectividad en $\mathbb{R}^n$ usted también tiene la ruta de acceso-conexión y conectividad por poligonal caminos que, básicamente, se puede imitar la prueba de la convexo argumento de cada "segmento", por lo tanto la obtención de un conjunto finito de puntos de $z_i$ que compruebe el MVT en el segmento determinado y, a continuación, elija $z$ a de ser el punto donde la matriz de la norma de la diferencial es el más alto entre el $z_i$.

Answer 2

Estas diapositivas dar una descripción de las multivariante valor medio teorema con una prueba. La declaración de que ellos proporcionan es, por $x,y \in \mathbb{R}^{n}$:

\begin{equation} ||f(x) - f(y)||_q \leq \sup_{z\in[x,y]}||f'(z)||_{(q,p)}||x-y||_p \end{equation}

Donde $z\in[x,y]$ denota un vector $z$ contenida en el conjunto de puntos entre el $x,y\in\mathbb{R}^n$, e $||f'(z)||_{(q,p)}$ $L_{(p,q)}$ norma de la derivada de la matriz de $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ evaluado en $z$.

Consecuencias de la Multivariante Valor medio Teorema (MMVT)

Un resultado interesante surge cuando $q=p=k$. En esta configuración, el MMVT tiene la siguiente forma:

\begin{equation} ||f(x) - f(y)||_k \leq \sup_{z\in[x,y]}||f'(z)||_{(k,k)}||x-y||_k \end{equation}

Con $||f'(z)||_{(k,k)} = ||[\nabla f_1(z),...,\nabla f_n(z)]||_k$ donde $[\nabla f_1(z),...,\nabla f_n(z)]$ es la pendiente de cada una de las variables de salida con respecto al dominio de las variables concatenados. Por lo tanto las propiedades de la matriz derivada evaluada en los puntos entre el $x$ $y$ da una indicación de si la función de $f(x)$ es una contractura mapa de puntos de $x$$y$.

Yo creo que si el mapa es la contractura de la $L_k$ norma para algunos específicos de $k\in \mathbb{Z}^+$ entonces es contractiva para todos los $k\in \mathbb{Z}^+$, pero podría ser algo interesante para mostrar o encontrar un contraejemplo.

Otra consecuencia interesante es, especificando $q=1$, entonces la expresión para el MMVT está dada por:

\begin{equation} ||f(x) - f(y)||_1 \leq \sup_{z\in[x,y]}||f'(z)||_{(1,p)}||x-y||_p \end{equation}

Donde $||f'(z)||_{(1,p)} = \sum_{i=1}^n||\nabla f_i(z)||_p$

Lo que indica que el $L_1$ norma de $||f(x) - f(y)||_1$ está acotada arriba por la suma de los gradientes de las variables de salida con respecto al dominio de las variables.

Es decir, si los gradientes de $f_i(z)$ $i\in\{1,...,m\}$ son suficientemente pequeñas, y los puntos de $x$ $y$ están lo suficientemente cerca juntos, entonces el $m$ elementos de $f(x)$ $f(y)$ tienen una tendencia a ser encogido cerca el uno del otro. Esto es una consecuencia de la $L_1$ norma en la diferencia.

Por último, si $q = \infty$, se obtiene el siguiente resultado para la MMVT:

\begin{equation} ||f(x) - f(y)||_\infty \leq \sup_{z\in[x,y]}||f'(z)||_{(\infty,p)}||x-y||_p \end{equation}

Con $||f'(z)||_{(\infty,p)} = \max_{i \in \{1,...,m\}}||\nabla f_i(z)||_p$.

Esta expresión indica que la variable de salida $j = \max_{j} |f_j(x) - f_j(y)|$, que es la mayor diferencia entre el $f(x)$ $f(y)$ a lo largo de cualquier dimensión individual, está acotada arriba por una función con la máxima $L_p$ norma de la $m$ gradientes. Tenga en cuenta que la norma del gradiente implica todas las dimensiones, y $L_\infty$ norma $f(x) - f(y)$ sólo involucra la máxima diferencia a lo largo de una dimensión individual.

Interesante Punto De

De las tres anteriores, los resultados son interesantes cuando se considera la unidad de vectores de alrededor del origen. Que es$x = 0$$||y||_p = 1$.

La utilización de estas restricciones en $x$ $y$ nos da que el de la proyección de la unidad de la bola en $f$ está contenida en el $L_q$-a la pelota con radio proporcionada por algunas de las funciones de la gradiente evaluado a lo largo de $\overleftarrow{y}$. Lo que parece obvio, pero esta configuración se da a algunos matemáticos de trazabilidad por parte de ella.