Deje $\Sigma$ ser un conjunto que consta de los símbolos de la función que permitían el infinito arities (que puede ser arbitraria de conjuntos). Un $\Sigma$-álgebra es un conjunto $X$ equipado con mapas de $\omega_* : X^d \to X$ por cada símbolo de función $\omega \in \Sigma$ de arity $d$. Tenemos una categoría de $\Sigma$-álgebras con un olvidadizo functor a la categoría de conjuntos.
Pregunta. ¿Qué es una referencia para la construcción de la libre $\Sigma$-álgebras?
Hoy en día parece ser bastante popular para definir algebraica de las teorías de tal manera que el libre álgebras ya están incluidos, más o menos, en la definición. Este no es el caso con la definición anterior. Por supuesto, el caso clásico es cuando el arities son conjuntos finitos. En este caso, es muy claro qué hacer. Uno define los términos de una altura determinada de forma inductiva. Un plazo de altura $0$ es uno de los elegidos, de los generadores, y un plazo de altura $\alpha+1$ es un símbolo de función emparejado con una familia de términos de la altura de la $\leq \alpha$ (pero al menos uno de altura $\alpha$) indexados por el arity. Si $\alpha$ es un ordinal límite, se define un plazo de altura $\alpha$ como un símbolo de función emparejado con una familia de términos de unbounded alturas $<\alpha$ indexados por el arity? Entonces, si $\alpha$ ha cofinality más grande que todos los arities, no existe la familia y por lo tanto no habrá término de la altura de la $\alpha$, y de ahí también el término de la altura de la $\geq \alpha$. Por lo tanto, el subproducto de todos los conjuntos de términos de una determinada altura está bien definido, y supongo que este es el conjunto subyacente de la libre $\Sigma$-álgebra. Es esto correcto? Las referencias a la literatura, son muy apreciados.
